o?(l_i)?_(i?I)))=
m(?(r_i ok_i)?_(i?I),?(h_i ol_i)?_(i?I) )=(?(r_i ok_i)?_(i?I)+?(h_i ol_i)?_(i?I) ) =
?(r_i ok_i+h_i ol_i)?_(i?I)
براي u:R?Rداريم:
?_R ou((r_i )_(i?I))=?_R ((-r_i )_(i?I))=?(?_i (-r_i))?_(i?I)=?(-?_i (r_i))?_(i?I)
و
u_0 o?_R ?((r_i)?_(i?I))=u_0 ?(?_i (r_i))?_(i?I)=?(-?_i (r_i))?_(i?I)
همچنين داريم:
u(??(r?_i)?_(i?I) o??(h?_i)?_(i?I) )=u(?(r_i oh_i)?_(i?I) )=?-(r_i oh_i)?_(i?I)=?((-r_i)o(-h_i))?_(i?I)
=?(-r_i)?_(i?I) o?(-h_i)?_(i?I)=u((r_i )_(i?I))ou?((h_i)?_(i?I))
براي e:(*)?Rداريم:
e((?r_i)?_(i?I) o??(h?_i)?_(i?I) )=e((?r_i oh_i)?_(i?I) )=1_e=?(1_(e_i ))?_(i?I)=?(1_(e_i ) o1_(e_i ))?_(i?I)=
?(1_(e_i ))?_(i?I) o?(1_(e_i ))?_(i?I)=e?(r_i)?_(i?I) oe?(h_i)?_(i?I)
با در نظر گرفتن توپولوژي جعبه‌اي براي R، Rبه يک فضاي توپولوژيکي تبديل مي‌شود.
براي هر i، نگاشت‌هاي منبع، هدف، شئ، معکوس و ترکيب در ? R?_iپيوسته‌اند، بنابراين ?، ?، 1_(( ))، iو Oنيز پيوسته مي‌باشند.
همچنين براي هر i، داريم m_i، u_i و e_i، در ? R?_iپيوسته‌اند، پس m، uو eنيز پيوسته مي‌باشند.
درنتيجه R يک گروه-گروه‌وار توپولوژيکي است.?
تعريف 4-8. حلقه‌ي توپولوژيکي
يک حلقه‌ي توپولوژيکي، يک حلقه‌ي Rاست با يک توپولوژي روي آن، به طوري‌که نگاشت‌هاي ساختار حلقه‌اي (ضرب گروهي، ضرب حلقه ايو معکوس گروهي) پيوسته باشند.
تعريف 4-9. ريخت بين حلقه‌هاي توپولوژيکي
يک ريخت حلقه‌اي توپولوژيکي از يک گروه توپولوژيکي به ديگري، يک همريختي حلقه‌اي است که به عنوان يک نگاشت، پيوسته نيز مي‌باشد.
تعريف 4-10. حلقه-گروه‌وار توپولوژيکي
يک حلقه-گروه‌وار توپولوژيکي R، يک گروه‌وار توپولوژيکي است که مجهز به يک ساختار حلقه‌ي توپولوژيکي مي‌باشد به طوري‌که نگاشت‌هاي ساختار حلقه‌اي زير ريخت‌هايي از گروه‌وارهاي توپولوژيکي باشند:
1- ضرب گروهي m:R×R?R , (a,b)?a+b .
2- معکوس گروهي u:R?R , a?-a.
3- باشدمنفرد(*)که جايي. e :(*)?R
4- ضرب حلقه‌اي n:R×R?R , (a,b)?ab.
در اينجا a+bرا نمادي براي ضرب گروهي، abرا نمادي براي ضرب حلقه‌اي و boaرا نمادي براي ترکيب دو عنصرa و bدر گروه‌وار توپولوژيکي R در نظر مي‌گيريم.
با توجه به مورد3، نکته‌ي زير را داريم.
نکته4-11.اگر 0 عنصر هماني(صفر)? R?_(0 )باشد، آن‌گاه ? 1?_0 عنصر هماني(صفر) R مي‌شود.
به عبارت ديگر، مي‌توان تعريف 4-10، را به صورت زير نيز بيان کرد.
تعريف 4-12. يک حلقه-گروه‌وار توپولوژيکي R، يک گروه-گروه‌وار توپولوژيکي(R,R_0,?,+) است که به يک ساختار حلقه‌ي توپولوژيکي مجهز باشد به طوري‌که نگاشت
n:R×R?R , (a,b)?ab
يک ريخت از گروه‌وارهاي توپولوژيکي باشد.
گزاره 4-13. در يک حلقه-گروه‌وار توپولوژيکي R، قوانين جابه‌جايي زير را داريم:
1- (coa)+(dob)=(c+d)o(a+b).
2- (coa)(dob)=(cd)o(ab).
جايي‌که ترکيب‌هاي (coa)و (dob)تعريف‌شده باشند.
برهان. چون mيک ريخت از گروه‌وارها مي‌باشد پس:
(coa)+(dob)=m((coa),(dob))=m((c,d)o(a,b))=
=(c+d)o(a+b) m(c,d)om(a,b)
به طور مشابه، چون nيک ريخت از گروه‌وارها مي‌باشد، داريم:
(coa)(dob)=n((coa),(dob))=n((c,d)o(a,b))
=n(c,d)on(a,b)=(cd)o(ab)
نتيجه 4-14. فرض کنيد R يک حلقه-گروه‌وار باشد. آن‌گاه نگاشت‌هاي منبع، هدف و شي‌اي ريخت‌هاي حلقه‌اي مي‌باشند.
برهان. از آن‌جايي‌که (R,R_0,?,+)يک گروه-گروه‌وار است، طبق نتيجه 4-6، داريم نگاشت‌هاي منبع، هدف و شي‌اي ريخت‌هاي گروهي هستند. حال ثابت مي‌کنيم اين نگاشت‌ها ريخت‌هاي حلقه‌اي نيز مي‌باشند.
فرض کنيد x,y?R_(0 )و r,h?R. چونn يک ريخت گروه‌واري است داريم:
?_R on(r,h)=n_0 o?_(R×R) (r,h)
درنتيجه
?_R (rh)=n_0 o(?_R×?_R )(r,h)=n_0 (?(r),?(h))=?(r)?(h)
همچنين داريم:
?_R on(r,h)=n_0 o?_(R×R) (r,h)
درنتيجه
?_R (rh)=n_0 o(?_R×?_R )(r,h)=n_0 (?(r),?(h))=?(r)?(h)
همچنين براي نگاشت شي‌اي داريم:
1_(()) on_0 (x,y)=no1_((?) ) (x,y)
درنتيجه
1_xy=n(1_x,1_y )=1_x 1_y
?
تعريف 4-15. ريخت بين حلقه-گروه‌وارهاي توپولوژيکي
فرض کنيد R و Hدو حلقه-گروه‌وار توپولوژيکي باشند. يک ريخت fاز Hبه R، يک ريخت از گروه‌وارهاي توپولوژيکي است که حافظ ساختار حلقه‌ي توپولوژيکي نيز مي‌باشد به اين معني‌که
f(a+b)=f(a)+f(b)
و
f(ab)=f(a)f(b)
تعريف 4-16. ريخت پوششي حلقه-گروه‌وارهاي توپولوژيکي
يک ريخت f:H?Rاز حلقه-گروه‌وارهاي توپولوژيکي، اگر يک ريخت پوششي روي گروه‌وارهاي توپولوژيکي R و Hباشد، يک ريخت پوششي توپولوژيکي ناميده مي‌شود.
تعريف 4-17. ريخت پوششي جهاني حلقه-گروه‌وارهاي توپولوژيکي
ريخت f:H?Rاز حلقه-گروه‌وارهاي توپولوژيکي، اگر يک ريخت پوششي جهاني روي گروه‌وارهاي توپولوژيکي RوH باشد، يک ريخت پوششي جهاني ناميده مي‌شود.
مثال 4-18. فرض کنيد R يک حلقه‌ي توپولوژيکي باشد. با تعريف زير R×Rيک حلقه-گروه‌وار توپولوژيکي مي‌باشد.
درمثال 4-5، نشان داديم کهR×R يک گروه-گروه‌وار روي R مي‌باشد. با توجه به اين‌که Rيک حلقه است، ضرب حلقه‌اي را به‌صورت
n((x,y),(z,t))=(x,y)(z,t)= (xz,yt)
تعريف مي‌کنيم و نشان مي‌دهيم يک ريخت گروه‌واري است.
n(((x,y),(x^?,y^?))o((y,z),(y^?,z^?)))=n(((x,y)o(y,z)),((x^?,y^? )o(y^?,z^?)))
=n((x,z),(x^?,z^?))=(x,z)(x^?,z^? )=(xx^?,zz^? )
و
n((x,y),(x^?,y^?))on((y,z),(y^?,z^?))=((x,y)(x^?,y^?))o((y,z)(y^?,z^?))
=(xx^?,yy^? )o(yy^?,zz^? )=(xx^?,zz^?)
چون Rيک حلقه‌ي توپولوژيکي است، پس توپولوژي حلقه-گروه‌وار R×Rرا توپولوژي حاصل‌ضربي برگرفته از R در نظر مي‌گيريم.
همچنين به دليل پيوستگي نگاشت‌هاي ساختار حلقه‌اي و نگاشت‌هاي گروه‌واري R×R، R×R يک حلقه-گروه‌وار توپولوژيکي است.
تعريف 4-19. زير حلقه-گروه‌وار
فرض کنيد Rيک حلقه-گروه‌وار باشد و H?R. اگر(H,H_0,+, ? ) تشکيل يک حلقه-گروه‌وار بدهد، آن‌گاه Hرا يک زيرحلقه-گروه‌وار مي‌ناميم.
نکته 4-20. اگر براي هر x,y?H_0، H(x,y)=R(x,y)، آن‌گاه Hيک زيرحلقه-گروه‌وار کامل ازR است واگر H_0=R_0، آن‌گاه H يک زيرحلقه-گروه‌وار عريض از R مي‌باشد.
گزاره 4-21. فرض کنيد R يک حلقه-گروه‌وار باشد. آن‌گاه مجموعه‌ي هماني‌هاي A={1_x?x?R_0 }يک زيرحلقه-گروه‌وار عريض مي‌باشد.
برهان. در گزاره 4-7، ثابت کرديم Aيک زيرگروه-گروه‌وار عريض از R مي‌باشد. نشان مي‌دهيم A يک زيرحلقه-گروه‌وار عريض ازR است.
فرض کنيد 1_x,1_y,1_z?A. چون نگاشت شيء يک همريختي حلقه‌اي است، داريم 1_xy=1_x 1_y. همچنين چون ? R?_0يک حلقه است، پس براي هر x,y?R_0، داريم xy?R_0، پس 1_xy?A. بنابراين 1_x 1_y?A.
پسA نسبت به ضرب بسته است.
با تحديد نگاشت n به A، چون nيک ريخت گروه‌واري است، پس A نيز يک ريخت گروه‌واري است.
بنابراين Aيک زيرحلقه-گروه‌وار عريض از Rاست.?
چون مجموعه‌ي اشياء و مجموعه‌ي ريخت‌ها در يک حلقه-گروه‌وار، خودشان نيز حلقه مي‌باشند، بنابراين مي‌توانيم يک ايده‌آل از حلقه-گروه‌وار را تعريف کنيم.
تعريف 4-22. ايده‌آل يک حلقه-گروه‌وار
يک زير گروه-گروه‌وارH از يک حلقه-گروه‌وار R، يک ايده‌آل چپ از حلقه-گروه‌وار Rاست، اگر
l:R×H?H , (r,h)?rh
براي هرr?R و h?H، يک ريخت از گروه‌وارها باشد.
به طور مشابه، Hيک يک ايده‌آل راست از حلقه-گروه‌وار Rمي‌باشد، اگر
k:H×R?H , (h,r)?hr
يک ريخت از گروه‌وارها باشد.
بنابراين اگر Hهم ايده‌آل راست و هم ايده‌آل چپ حلقه-گروه‌وارR باشد، Hرا يک ايده‌آل از حلقه-گروه‌وارR مي‌ناميم،.
نتيجه 4-23. براساس تعريف ايده‌آل چپ، چونl يک ريخت گروه‌واري است، پس مجموعه‌ي ريخت‌هاي Hيک ايده‌آل چپ حلقه‌ي Rو مجموعه‌ي اشياءH_0 نيز يک ايده‌آل چپ حلقه‌ي ? R?_0مي‌باشد. همچنين توجه داشته باشيد که هر ايده‌آل چپ حلقه-گروه‌وارR، يک زيرحلقه-گروه‌وار نيز مي‌باشد.
برهان. داريم lو ? l?_0ريخت‌هاي گروه‌واري هستند.
براي هرr?R و h?H داريم .rh=l(r,h)?H
پس Hيک ايده‌آل چپ حلقه‌ي R مي‌باشد.
براي هر x?R_0و y?H_0داريم .xy=l(x,y)?H_0
پس ? H?_0يک ايده‌آل چپ حلقه‌ي R_0مي‌باشد.
مي دانيم هر ايده‌آل چپ حلقه-گروه‌وار R، يک زيرگروه-گروه‌وار ازR است. همچنين طبق تعريف نگاشت l، هر ايده‌آل نسبت به عمل ضرب حلقه بسته مي‌باشد. از طرفي نگاشت ساختار حلقه‌اي ايده‌آل، که همانl است، يک ريخت گروه‌واري مي‌باشد، پس هر ايده‌آل يک زيرحلقه-گروه‌وار نيز مي‌باشد.?
گزاره 4-24. فرض کنيدH يک زيرگروه-گروه‌وار از حلقه-گروه‌وار Rباشد. اگر مجموعه‌ي ريخت‌هايH، يک ايده‌آل چپ از حلقه‌ي مجموعه ريخت‌هاي Rباشد، آن‌گاهH_(0 ) نيز يک ايده‌آل چپ R است.
برهان. فرض کنيدx?H_(0 ) و y?R_0. بنابراين ? 1?_x?Hو 1_y?R. چون مجموعه‌ي ريخت‌هاي Hيک ايده‌آل چپ از حلقه‌ي R مي‌باشد، پس 1_y 1_x=1_yx?H. چون H يک زيرگروه‌وار Rاست، پس yx?H_0. درنتيجه? H?_(0 )يک ايده‌آل چپ ? R?_0است.
همچنين فرض کنيد R يک حلقه-گروه‌وار و I يک ايده‌آل چپ حلقه-گروه‌وارR باشد. همچنين فرض کنيد a,c?I. براي b,d?R، جايي‌که aoc و bodتعريف‌شده باشند، طبق گزاره 4-13، داريم:
(bod)(aoc)=(ba)o(dc)
چون مجموعه‌ي ريخت‌هاي Iيک ايده‌آل چپ R مي‌باشند، پس ba,dc?I. بنابراين چون Iيک زيرگروه‌وار است، داريم(ba)o(dc)?I.?
نتيجه‌اي مشابه گزاره 4-24، براي ايده‌آل‌هاي راست نيز برقرار است.
گزاره 4-25. فرض کنيد R يک حلقه-گروه‌وار توپولوژيکي باشد و 0عضو هماني حلقه‌يR_(0 ) باشد. آن‌گاه مجموعه‌ي ? St?_R 0={a?R??(a)=0}يک حلقه‌ي توپولوژيکي است.
برهان. فرض کنيد a,b??St?_R 0. چون ? همريختي گروهي است، داريم:

دسته بندی : No category

دیدگاهتان را بنویسید