رياضي در کشور عزيزمان ايران اسلامي را فراهم آورد، انشاءالله…
چکيده
حلقه-گروه‌وارهاي توپولوژيکي و بالابرها در فضاهاي پوششي
به كوشش:
آمنه نوروزي
دراين پايان‌نامه به بررسي ساختارهايي از گروه‌وارها، گروه‌وارهاي توپولوژيکي، حلقه- گروه‌وارهاي توپولوژيکي، ريخت‌هاي بين آنها، پوشش‌هاي گروه‌وارها و حلقه-گروه‌وارهاي توپولوژيکي و بالابر‌ها در اين زمينه مي‌پردازيم. نشان مي‌دهيم که مجموعه‌ي کلاس‌هاي هموتوپي از تمام مسيرها در يک حلقه‌ي توپولوژيکي، يک شيء حلقه‌ي توپولوژيکي مي‌باشد. با فرض اين‌که X?X ?:P يک نگاشت پوششي و X يک حلقه‌ي توپولوژيکي باشد، نشان مي‌دهيم رسته‌يUTRCov(X) از پوشش‌هاي Xکه در آن هر دوي X و X ? داراي پوشش‌هاي جهاني هستند و رسته‌ي UTRGdCov(?_1 X) از پوشش‌هاي حلقه-گروه‌وار توپولوژيکي ?_1 X، که در آن X وR ?_0=X ? داراي پوشش‌هاي عمومي هستند، هم‌ارز مي‌باشند، که در مقاله‌ي ” حلقه-گروه‌وارهاي توپولوژيکي و بالابر‌ها ” توسط “فتيح ازکن، ايسن و هابيل گورسوي” در سال 2006 بررسي شده است.
فهرست مطالب
عنوان
صفحه
فصل اول: مقدمه
1
تعاريف و قضاياي استنادي
4
فصل دوم
گروه‌وارها و گروه‌وارهاي توپولوژيکي
15
فصل سوم
عمل‌گروه‌وار و کاربرد آن در R-فضاها
42
فصل چهارم
حلقه-گروه‌وارهاي توپولوژيکي
63
فصل پنجم
رستهها و بالابرها
85
منابع
93
واژه‌نامه فارسي به انگليسي
97
واژه‌نامه انگليسي به فارسي
103
فهرست نمودارها
عنوان و شماره
صفحه
نمودار1
12
نمودار2
21
نمودار3
39
نمودار4
39
نمودار5
51
نمودار6
52
نمودار7
53
نمودار8
60
نمودار9
65
نمودار10
80
نمودار11
82
نمودار12
88
فصل اول
مقدمه
مفهوم گروه‌وارها در هندسه ديفرانسيل در سال 1950 توسط اريزمن1 مطرح شد که در واقع تعميمي از گروه‌ها مي‌باشد.يکي از نظريه‌هايي که بر مبناي گروه‌وارها مي‌توان ساختارهاي آن را مشخص کرد، نظريه‌ي فضاهاي پوششي است. اين نظريه يکي از مهم‌ترين نظريه‌ها در توپولوژي جبري است که با مطالعه‌ي رسته‌ها، گروه‌وارها و روابط بين آن‌ها در فضاهاي پوششي، مفهوم پوشش بامعنا مي‌شود که اين روابط توسط براون2، هاردي3، آيسن4 و موسوک5 در مراجع [2,6,9,10,14,16]، مورد بررسي قرار گرفته است. در سال 1971، هايگنز نشان داد نظريه‌ي گروهوارهاي پوششي نقش مهمي را در عملکرد گروه‌وارها ايفا مي‌کنند. در اين نظريه دو نتيجه‌ي مهم و کليدي وجود دارد که بررسي توپولوژيکي اين دو نتيجه، در سال 1976 توسط براون و هاردي در مرجع [2]، بيان شده است. طي اين بررسي براون در سال 2006 در مرجع [1]، هم‌ارزي رسته‌ي TCov(X) از پوششهاي توپولوژيکي X و رسته‌ي GdCov(?_1 X)از گروه‌وارهاي پوششي گروهوار بنيادي ?_1 X را براي فضاي توپولوژيکي X که داراي پوشش جهاني مي‌باشد، نشان داد.
در سال 1998، در مرجع [14]، موسوک نظريه‌ي حلقه-گروه‌وار را تعريف کرد. علاوه بر آن ثابت کرد که براي حلقه‌ي توپولوژيکي X، ?_1 X يک حلقه-گروه‌وار مي‌شود. سپس هم‌ارزي رسته‌ي TRCov(X) از پوشش‌هاي حلقه‌اي توپولوژيکي X و رسته‌ي RGdCov(?_1 X) از پوشش‌هاي حلقه-گروه‌واري ?_1 X را نشان داد.
در فصل اول اين پايان‌نامه، مفاهيمي از توپولوژي جبري مانند هموتوپي، هموتوپي‌راهي و اولين گروه بنيادي را بيان مي‌کنيم. سپس تعاريفي از نگاشت‌هاي پوششي، بالابرها، رسته‌ها و تابعگون‌ها مي‌آوريم و در آخر به مفاهيمي از فضاهاي توپولوژيکي، گروه‌ها وحلقه‌ها مي‌پردازيم.
در فصل دوم، گروه‌وارها و گروه‌وارهاي توپولوژيکي را معرفي مي‌نماييم، سپس مفاهيمي از هموتوپي و اولين گروه بنيادي روي گروه‌وارها را مورد بررسي قرار مي‌دهيم.
در فصل سوم، عمل گروه‌وار Rروي يک مجموعهمانند S، مدول‌ ضربي گروه‌واري وR-فضاها را مطرح مي‌کنيم و نشان مي‌دهيم رسته‌ي TCov(R) از پوشش‌هاي توپولوژيکي، با رسته‌ي TOp(R) از R- فضاها هم‌ارز مي‌باشد.
در فصل چهارم، حلقه-گروه‌وارهاي توپولوژيکي، ايده‌آل‌هاي حلقه-گروه‌واري و قضاياي مربوط به آن‌ها مورد بحث قرار مي‌گيرد. همچنين در اين فصل، ثابت مي‌شود که گروه‌وار بنيادي ?_1 X، يک حلقه-گروه‌وار توپولوژيکي است که از اين مطلب در فصل پنجم براي تعريف رسته‌ها و هم‌ارزي بين آن‌ها استفاده مي‌شود.
در فصل پنجم به معرفي رسته‌هايي در فضاهاي پوششي و همچنين رسته‌هايي از پوشش‌هاي گروه‌واري مي‌پردازيم و به کمک بالابرها هم‌ارزي بين UTRCov(X)، که يک زيررسته‌ي کامل از TRCov(X) مي‌باشد و UTRGdCov(?_1 X) که يک زيررسته‌ي کامل از TRGdCov(?_1 X) مي‌باشد، را نشان مي‌دهيم. در نهايت نگاشت بالابرنده روي گروه‌وارهاي پوششي را تعريف مي‌کنيم.
تعاريف وقضاياي استنادي
تعريف 1-1. توپولوژي گردايه‌اي مانند ? از زيرمجموعه‌هاي Xاست که در شرايط زير صدق مي‌کند.
1- ? و X متعلق به ? ‌باشند.
2- اجتماع اعضاي هر زيرگردايه‌ي ?، متعلق به ? ‌باشد.
3- مقطع اعضاي هر زيرگردايه‌ي متناهي ?، متعلق به ?‌ باشد.
تعريف 1-2. فضاي توپولوژيک
مجموعه‌ي Xرا که براي آن توپولوژيي مانند ? مشخص شده است، فضاي توپولوژيک مي‌ناميم.
تعريف 1-3. پايه‌ي يک توپولوژي
فرض کنيد X يک مجموعه باشد. يک پايه‌ي توپولوژي‌ در X گردايه‌اي از زيرمجموعه‌هاي X (موسوم به اعضاي پايه) مي‌باشد به‌طوري‌که:
1- به ازاي هر x?X، دست‌کم يک عضو پايه مانند B شامل x موجود است.
2- اگر x متعلق به مقطع دو عضو پايه مانند? B?_1و B_2 باشد، آن‌گاه عضوي از پايه مانند B_3 وجود دارد به طوري‌که x?B_3 و B_3?B_1?B_2.
تعريف 1-4. اگر B پايه‌ي توپولوژي در Xباشد، آن‌گاه ?، توپولوژي توليد شده به وسيله‌ي B، چنين تعريف مي‌شود:
زيرمجموعه‌ي U از X را در X باز گوييم(يعني عضوي از ? باشد)، اگر به‌ازاي هر x?U، عضوي از پايه مانند BB? وجود داشته باشد به طوري‌که x?B و B?U.
بنابر تعريف بالا، هر عضو B در X باز است، بنابراين ??B.
تعريف 1-5. توپولوژي حاصل‌ضربي
فرض کنيد X وY دو فضاي توپولوژيک باشند. توپولوژي حاصل‌ضربي در X×Yتوپولوژي است که پايه‌ي آن گردايه‌ي B متشکل از همه‌ي مجموعه‌هايي به صورت U×Vاست که در آن Uزيرمجموعه‌ي بازي از Xو Vزيرمجموعه‌ي بازي از Yاست.
قضيه 1-6. اگر B پايه‌اي براي توپولوژي Xو C پايه‌اي براي توپولوژي Yباشد، آن‌گاه گردايه‌ي
D={B×C?B?B,C?C}
پايه‌اي براي توپولوژي X×Yاست.
برهان. به مرجع [17]، صفحه‌ي 114 مراجعه کنيد.
تعريف 1-7. توپولوژي زيرفضايي
فرض کنيد X يک فضاي توپولوژيک با توپولوژي? باشد. اگر Yزيرمجموعه‌اي از Xباشد، گردايه‌ي
?_Y={Y?U?U??}
يک توپولوژي در Yاست و به توپولوژي زيرفضايي موسوم است. با اين توپولوژي، Yرا يک زيرفضاي Xمي‌خوانند.
لم 1-8. اگر B پايه‌اي براي توپولوژي Xباشد، آن‌گاه گردايه‌ي
B_Y={B?Y?B?B}
پايه‌اي براي توپولوژي زيرفضايي است.
برهان. به مرجع [17]، صفحه‌ي 116 مراجعه کنيد.
قضيه 1-9. اگر Aزيرفضايي از Xو Bزيرفضايي از Yباشد، آن‌گاه توپولوژي حاصل‌ضربي در A×B همان توپولوژيي است که در A×Bبه عنوان يک زيرفضاي X×Y القاء مي‌شود.
برهان. به مرجع [17]، صفحه‌ي 118 مراجعه کنيد.
تعريف 1-10. نگاشت خارج‌قسمتي
فرض کنيد Xو Yدو فضاي توپولوژيک باشند و p:X?Yنگاشتي پوشا باشد. نگاشت pرا يک نگاشت خارج‌قسمتي خوانيم در صورتي‌که هر زير‌مجموعه‌ي Yمانند Uدر Yباز است اگر و فقط اگر ? p?^(-1) (U)در Xباز باشد.
تعريف 1-11. توپولوژي خارج قسمتي
اگر X يک فضا، Aيک مجموعه و p:X?Aيک نگاشت پوشا باشد، آن‌گاه تنها يک توپولوژي ? در Aوجود دارد که p نسبت به آن، نگاشت خارج‌قسمتي است. اين توپولوژي به توپولوژي خارج‌قسمتي القاء شده توسط pموسوم است.
البته توپولوژي ? چنين تعريف مي‌شود که آن را متشکل از زيرمجموعه‌هايي مانند Uاز Aمي‌گيريم که ? p?^(-1) (U)در Xباز باشد.
تعريف 1-12. توپولوژي جعبه‌اي
فرض کنيد ? {X_? }?_(??I)خانواده‌ي انديس‌داري از فضاهاي توپولوژيک باشند. گردايه‌ي همه‌ي مجموعه‌هاي به صورت ?_(??J)?U_? را که به‌ازاي هر ?، مجموعه‌ي ? U?_?در ? X?_?باز است، به عنوان يک پايه براي توپولوژي‌اي در فضاي حاصل‌ضربي ?_(??J)?X_? اختيار مي‌کنيم. توپولوژي توليد‌شده به وسيله‌ي اين پايه را توپولوژي جعبه‌اي مي‌ناميم.
تعريف 1-13. مقايسه‌ي توپولوژي جعبه‌اي و حاصل‌ضربي
يک پايه‌ي توپولوژي جعبه‌اي در ??X_? ، همه‌ي مجموعه‌هاي به شکل ??U_? است که در آن به‌ازاي هر ?، مجموعه‌ي ? U?_?در ? X?_?باز است. توپولوژي حاصل‌ضربي در ??X_? ، همه‌ي مجموعه‌هاي به شکل ??U_? است که در آن به‌ازاي هر ?، مجموعه‌ي ? U?_?در ? X?_?باز است و به‌ استثناي عده‌اي متناهي از ? ها، U_? مساوي ? X?_?است.
نکته 1-14. براي حاصل‌ضرب‌هاي متناهي اين دو توپولوژي دقيقاً يکي هستند.
تعريف 1-15. نگاشت پيوسته
اگر به‌ازاي هر x?Xو هر همسايگي f(x)مانند V، يک همسايگي xمانند Uيافت شود به طوري‌که f(U)?V، آن‌گاه نگاشت f:X?Yرا پيوسته گوييم.
قضيه 1-16. فرض کنيد X، Yو Zفضاهاي توپولوژيک باشند.
1- اگر A زيرفضايي از Xباشد، آن‌گاه تابع احتواي j:A?Xپيوسته است.
2- اگر f:X?Yو g:Y?Zپيوسته باشند، آن‌گاه تابع مرکب gof:X?Zنيز پيوسته است.
3- اگر تابع f:X?Yپيوسته و A زير‌فضايي از Xباشد، آن‌گاه تابع تحديد ? f?|_A:A?Yنيز پيوسته است.
برهان. به مرجع [17]، صفحه‌ي 139 مراجعه کنيد.
تعريف 1-17. فرض کنيد ?_1:X×Y?X با ضابطه‌ي ? ??_1 (x,y)=xو ?_2:X×Y?Y با ضابطه‌ي ? ??_2 (x,y)=yتعريف‌شده باشند. نگاشت‌هاي ? ??_1و ?_2، به‌ترتيب نگاشت‌هاي تصويريX×Y به روي عوامل اول ودوم خوانده مي‌شوند.
لم 1-18. نگاشت‌هاي تصويري ? ??_1و ?_2، پيوسته و پوشا مي‌باشند.
برهان. به مرجع [17]، صفحه‌ي 115 مراجعه کنيد.
قضيه 1-19. لم چسب
فرض کنيد X=A?Bو A و Bدر Xبسته باشند. به علاوه، فرض کنيد f:A?Yو g:B?Yپيوسته باشند. در اين‌صورت اگر به ازاي هر x?A?B، داشته باشيم f(x)=g(x)، آن‌گاه مي‌توان fو gرا با هم در‌آميخت تا تابع پيوسته‌ي h:X?Yرا به‌دست آورد که به‌ازاي x?A، به‌صورت h(x)=f(x)و به‌ازاي x?B، به‌صورت h(x)=g(x)تعريف شود.
برهان. به مرجع [17]، مراجعه کنيد.
تعريف 1-20. نگاشت همئومورفيسم
فرض کنيد X وY دو فضاي توپولوژيکي باشند و تابع f:X?Yتناظري دوسويي باشد. اگر fو تابع معکوس آن f^(-1):Y?X، هر دو پيوسته باشند، آن‌گاه f را همئومورفيسم مي‌خوانيم.
تعريف 1-21. هموتوپي
فرض کنيم f و? f?^?نگاشت‌هاي پيوسته‌اي از فضاي X به فضاي Y باشند. f را با ? f?^?هموتوپ گوييم در صورتي‌که نگاشت پيوسته‌اي مانند F:X×I?X موجود باشد به‌طوري‌که به‌ازاي هر x?X، داشته باشيم:
F(x,0)=f(x) , F(x,1)=f^? (x)
جايي‌که I=[0,1]. نگاشت Fرا يک هموتوپي بين f و ? f?^?مي‌ناميم. اگر f با ? f?^?هموتوپ باشد مي‌نويسيم f?f^?.
تعريف 1-22. مسير در فضاي توپولوژيکي
اگرf:[0,1]?X نگاشت پيوسته‌اي باشد به‌طوري‌که f(0)=x_(0 )و f(1)=x_1، گوييم fمسيري در X از ? x?_0به ? x?_1است. همچنين ? x?_0را نقطه‌ي آغاز و ? x?_1را نقطه‌ي انجام مسير fمي‌ناميم.
تعريف 1-23. هموتوپ‌راهي
مسيرهاي

دسته بندی : No category

دیدگاهتان را بنویسید