1_(( )):{e}?R
e?e
نگاشت معکوس
i:R?R
a?a^(-1)
جايي‌که ? a?^(-1) وارون عنصرa در گروه Rمي‌باشد.
نگاشت ترکيب
O:R_( ?) ×_( ?) R?R
(a,b)?aob
نگاشت ترکيب را همان عمل گروه رويa و bمي‌گيريم.
نشان مي‌دهيم که شرايط گروه‌وار را دارد:
1- ?(boa)=e=?(a) , ?(boa)=e=?(a)
2- براي هرa,b,c?R،چون عمل گروه داراي خاصيت شرکت‌پذيري است، بنابراين داريم:
co(boa)=(cob)oa
3- ?(1_e )=e , ?(1_e )=e
4- ao1_(?(a))=ao1_e=aoe=a , 1_(?(a)) oa=1_e oa=eoa=a
5- ?(a^(-1) )=e=?(a) , ?(a^(-1) )=e=?(a)
و
aoa^(-1)=e=1_e=1_(?(a)) , a^(-1) oa=e=1_e=1_(?(a))
تعريف 2-6. براي x?R_0،?St?_R x يا R_x مجموعه‌ي همه‌ي ريخت‌هايي است که باx شروع مي‌شود و ? CoSt?_R xيا R^x مجموعه‌ي همه‌ي ريخت‌هايي است که با xبه پايان مي‌رسند. يعني
?St?_R x=?^(-1) (x)
و
?CoSt?_R x=?^(-1) (x)
تعريف 2-7.‌ مجموعه
R(x)=R(x,x)=?St?_R x??CoSt?_R x= {a?R??(a)=?(a)=x} ‌را گروه راسي يا شئ‌اي در xمي‌ناميم.
براي هر a,b?R (x)، چون ?(aob)=?(b)=x و ?(aob)=?(a)=x پس aob?R(x)، و با در نظر گرفتن 1_x به عنوان عضو هماني وa^(-1)=a به عنوان وارون a مي‌بينيم کهR(x) يک گروه مي‌باشد.
تعريف 2-8. گروه‌وار متعدي
اگر براي هرx,y?R_0 داشته باشيم ،R(x,y)??گروه‌وارR را متعدي گوييمواگر براي هر x,y?R_0،R(x,y) فقط يک عنصر داشته باشد،Rرا 1-متعدي گوييم. .
مثال 2-9. حاصل‌ضرب دو گروه‌وار
فرض کنيد (R,R_0 )و(R^?,?R_0?^?) دو گروه‌وار باشند. نشان مي‌دهيم (R×R^?,R_0×?R_0?^?) يک گروه‌وار مي‌باشد که آن را حاصل‌ضرب (R,R_0)و (R^?,?R_0?^? )مي‌ناميم.
اگر گروه‌وار(R,R_0) را با نگاشت‌هاي ?، ?، 1_x، iوO و گروه‌وار (R^?,?R_0?^?) را با نگاشت‌هاي ?^?، ?^?، ?1_x?^?، ? i?^?و ? O?^?در نظر بگيريم،(R×R^?,R_0×?R_0?^?) با نگاشت‌هاي زير گروه‌وار است:
نگاشت منبع و هدف:
?^?=?×?^?:R×R^??R_0×?R_0?^?
(r_1,r_2 )?(?(r_1 ),?^? (r_2))
و
?^?=?×?^?:R×R^??R_0×?R_0?^?
(r_1,r_2 )?(?(r_1 ),?^? (r_2))
نگاشت شيء:
?1_(( ))?^?=1_(( ))×?1_(( ))?^?:R×R^??R_0×?R_0?^?
(x,x^? )?(1_x,?1_x?^?)
نگاشت معکوس
i^?=i×i^?:R×R^??R×R^?
(r_1,r_2 )?(i(r_1 ),i^? (r_2))
نگاشت ترکيب
O^?=O×O^?:?(R×R^?)?_2?R×R^?
((r_1,?r_1?^? ),(r_2,?r_2?^? ))?(O(r_1,r_2 ),O^? (?r_1?^?,?r_2?^?))
جايي‌که
?(R×R^?)?_2 ={((r_1,?r_1?^? ),(r_2,?r_2?^? ))?(?×?^? )(r_1,?r_1?^? )=(?×?^?)(r_2,?r_2?^? ) } ={((r_1,?r_1?^? ),(r_2,?r_2?^? ))??(r_1 )=?(r_2 ) , ?^? (?r_1?^? )=?(?r_2?^?)}
به راحتي ديده مي‌شود که اين نگاشت‌ها در شرايط گروه‌وار نيز صدق مي‌کنند.
نمودار2.
توجه کنيد شرايط?_R of=f_0 o?_(H ) و ? ??_R of=f_0 o?_Hنشان مي‌دهند که هرگاهboa تعريف شده باشد، f(b)of(a) نيز تعريف مي‌شود. زيرا در اين‌صورت داريم:
?_R (f(b))=f_0 (?_H (b))=f_0 (?_H (b))=?_R (f(b))
تعريف 2-11. ريخت حافظ پايه
اگر H_0=R_(0 )وf_0=?id?_(H_(0 ) )، مي‌گوييم fيک ريخت روي ? H?_0است يا f يک ريخت حافظ پايه است.
مثال 2-12. اگرR يک گروه‌وار روي R_0، به ترتيب با نگاشت‌هاي منبع و هدف? و ? باشد، در اين‌صورت نگاشت
f=(?,?):R?R_0×R_0
r?(?(r),?(r))
يک ريخت حافظ پايه از گروه‌وارها مي‌باشد.
زيرا? R?_0×R_(0 )با نگاشت‌هاي زير يک گروه‌وار روي R_(0 )مي‌باشد.
نگاشت منبع
?^?:R_0×R_0?R_0
(x,y)?y
نگاشت هدف
?^?:R_0×R_0?R_0
(x,y)?x
نگاشت شيء
1_(( )):R_0?R_0×R_0
x?(x,x)
نگاشت معکوس
i:R_0×R_0?R_0×R_0
(x,y)?(y,x)
نگاشت ترکيب
O:(R_0×R_0 )×(R_0×R_0)?R_0×R_0
((x,y),(y,z))?(x,z)
که در شرايط گروه‌وار صادق مي‌باشد:
1-?^? ((x,y)o(y,z))=?^? (y,z)=z
و
?^? ((x,y)o(y,z))=?^? (x,y)=x
2-(x,y)o((y,z)o(z,k))=(x,y)o(y,k)=(x,k)
و
((x,y)o(y,z))o(z,k)=(x,z)o(z,k)=(x,k)
3-?^? (1_x )=?^? (x,x)=?^? (x,x)=?^? (1_x )=x
4-((x,y)o1_(?^? (x,y)) )=(x,y)o(y,y)=(x,y)
و
(1_(?^? (x,y) ) o(x,y))=(x,x)o(x,y)=(x,y)
5-?^? (x,y)=?^? (y,x)=y
و
?^? (y,x)=?^? (x,y)=x
همچنين داريم:
(x,y)o(y,x)=(x,x)=1_(?^? (x,y))
و
(y,x)o(x,y)=(y,y)=1_(?^? (x,y))
با توجه به نگاشت‌هاي منبع و هدف گروه‌وار داريم:
?^? of(r)=?^? (?(r),?(r))=?(r)=f_0 (?(r))
و
?^? of(r)=?^? (?(r),?(r))=?(r)=f_0 (?(r))
همچنين داريم:
f(roh)=(?(roh),?(roh))=(?(r),?(h))=(?(r),?(r))o(?(h),?(h))=f(r)of(h)
گزاره 2-13. اگر(f,f_0) يک ريخت بين گروه‌وارهاي Hو Rباشد، آن‌گاه:
براي هرx?H_0،f(1_x )=1_(f_0 (x)).
براي هرh?H، f(h^(-1) )=?(f(h))?^(-1).
برهان قسمت1-
ابتدا نشان مي‌دهيم براي x?H_0، 1_x o1_x=1_x. از آن‌جا که نگاشت ?پوشاست، a?Hموجود است که ?(a)=x. بنابراين
1_x o1_x=1_(?(a)) o1_(?(a))=(a^(-1) oa)o(a^(-1) oa)=a^(-1) o(aoa^(-1) )oa=a^(-1) o(1_(?(a)) oa)=a^(-1) oa=1_(?(a))=1_x
پس
f(?1 ?_x )of(1_x )=f(1_x o1_x )=f(1_x)
قرار مي‌دهيمh=f(1_x)، r=f(1_x)و y=f_0 (x). در اين‌صورت داريم:
hor=f(1_x )of(1_x )=f(1_x )=r
بنابراين طبق گزاره2-3 قسمت 1 ، h=1_y. يعنيf(1_x )=1_(f_0 (x)).
برهان قسمت2-
قرار مي‌دهيم r=f(h)وj=f(h^(-1)). داريم:
?^? (j)=?^? (f(h^(-1)))=f_0 (?(h^(-1)))=f_0 (?(h))=?^? (f(h))=?^? (r)
و
f(h)of(h)=f(hoh^(-1) )=f(1_(?(h)) )=1_(f_0 (?(h)))=1_(?^? (f(h)))=1_(?^? (r))
در نتيجه طبق گزاره 2-3 قسمت4،h=r^(-1). يعنيf(h^(-1) )=?(f(h))?^(-1).?
تعريف 2-14. ريخت پوششي گروه‌وارها
فرض کنيد H و R دو گروه‌وار باشند. اگر براي هر x?H_0، تحديدf يعني f_x:?St?_H x??St?_R f(x) دوسويي باشد، ريختf:H?R از گروه‌وارها، يک ريخت پوششي ناميده مي‌شود.
تعريف 2-15. ريخت پوششي منظم
فرض کنيد H و R دو گروه‌وار باشند. اگر براي تمام اشياء x از Rو تمام عناصر r?R(x)، همه‌ي عناصرf^(-1) (r) طوقه باشند يا هيچکدام طوقه نباشد، ريخت پوششي f:H?Rاز گروه‌وارها را منظم مي‌ناميم.
تعريف 2-16. گروه مشخصه
فرض کنيد f:H?R يک ريخت از گروه‌وارها باشد. براي يک شئ x?H_0، زيرگروهf(H(x)) ازR(f(x)) گروه مشخصه ي fدر xناميده مي‌شود.
نتيجه 2-17. اگرf ريخت پوششي باشد، آن‌گاه f، H(x)را به ‌طور يکريخت به f(H(x))مي‌نگارد.
برهان. چونf يک ريخت پوششي است پس? f?_x:?St?_H x??St?_R f(x)دوسويي است. اگر? f?_xرا به H(x)تحديد کنيم،? f?_(H(x)):H(x)?f(H(x))يک نگاشت دوسويي است. از طرفي چون عمل گروه شي‌اي را همان عمل گروه‌وار تعريف مي‌کنيم و fنيز يک ريخت گروه‌واري است پسf(boa)=f(b)of(a)، يعني fهمريختي گروهي نيز مي‌باشد. بنابراين ? f?_(H(x)):H(x) ?f(H(x))يک همريختي يک‌به‌يک و پوشاست، پس يکريختي مي‌باشد.
تعريف 2-18. ريخت پوششي جهاني
فرض کنيد H و R دو گروه‌وار باشند. اگرH هرپوششR را بپوشاند، يعني اگر براي هر ريخت پوششي a:A?Rيک ريخت پوششي يکتاي? a?^?:H?A ازگروه‌وارها موجود باشد به‌‌طوري‌کهaoa^?=f، آن‌گاه ريخت پوششي f:H?Rاز گروه‌وارهاي متعدي، ريخت پوششي جهاني ناميده مي‌شود.
تعريف 2-19. زيرگروه‌وار
يک زيرگره‌وار از گروه‌وار،(R,R_0) يک جفت (R^?,?R^??_0) از زيرمجموعه‌ها مي‌باشد که R^??R، ?R^??_0?R_(0 ) و شرايط زير برقرار باشد:
1-1_(( )) (?R^??_0)??R ?^?،?(R^?)??R^??_(0 ) و .?(R^? )??R^??_0
2- براي هرa,b?R^?اگرaob تعريف شده باشد، آن‌گاه aob?R^?. يعني? R?^?تحت عمل ترکيب بسته باشد.
3- براي هر a?R^?،? a?^(-1)?R^?باشد.
مثال 2-20.اگر (R,R_0) يک گروه‌وار باشد، مجموعه‌ي 1_(( )) (R_0 )={1_x?x?R_0 }يک زير گروه‌وار ازR روي ? R?_(0 )مي‌باشد، زيرا
R^?=1_0 (R_0 ) , ?R^??_0=R_0
بنابراين
?R^??_0?R_0 , R^??R
1- 1_(( )) (?R^??_0 )=1_(( )) (R_0 )?1_(( )) (R_0 )=R^?
و همچنين داريم:
?(R^? )=?(1_(( )) (R_0))=R_0?R_0
و
?(R^? )=?(1_(( )) (R_0))=R_0?R_0
2- فرض کنيد? 1?_(x_1 ),1_(x_2 )?R^?و? 1?_(x_1 ) o1_(x_2 )تعريف شده باشد. در اين‌صورت داريم:
?(1_(x_1 ))=?(1_(x_2 ))
بنابراين x_1=x_2، پس 1_(x_1 )=1_(x_2 ).
درنتيجه
1_(x_1

دسته بندی : No category

دیدگاهتان را بنویسید