) o?1_x?_2=1_(x_1 ) o1_(x_1 )=1_(x_1 )?R^?
3- فرض کنيد1_x?R^?، داريم:
1_x o(?1_x)?^(-1)=1_(?(1_x))=1_x=1_x o1_x
با قرار دادن r=1_xوj=1_x، طبق گزاره2-3،قسمت4، چون1_x=1_x 01_x
بنابراين 1_x=?(1_x)?^(-1). لذا ?(1_x)?^(-1)?R^?.
هموتوپي مسيرها در گروه‌وار:
هموتوپي بين دو مسير در گروه‌وار به دو دسته تقسيم مي‌شود:
1- هموتوپي به طول q، بين دو مسيرa و bازx به y با طول‌هاي يکسان.
2- هموتوپي بين دو مسيرa و b ازx به yبا طول‌هاي متفاوت. در اين موردa وb را اصطلاحا ً دو مسير هم‌ارز مي‌گوييم.
تعريف 2-21. هموتوپي به طول q
فرض کنيم a و b دو مسير ازx به y، با طول‌هاي مساويr هستند. يک هموتوپي به ‌طول qاز aبه bتوسط تابع پيوسته‌يF به‌صورت زير تعريف مي‌شود:
F:[0,r]×[0,q]?X
به ‌طوري‌که
F(s,0)=a(s) , F(s,q)=b(s) s?[0,r]هر براي
F(0,t)=x , F(r,t)=y t?[0,q]هر براي
توجه داشته باشيد که براي هر tدر [0,q]، مسيرF_t:S?F(s,t) يک مسير در?X(x,y) مي‌باشد. در واقع مي‌توانيم خانواده‌ي (F_t )را به عنوان يک “خانواده‌ي پيوسته از مسيرها” بين ? F?_0=aو F_1=bدر نظر بگيريم.
بنابراين ما نماد F:a~bرا به عنوان هموتوپي ازa به bاستفاده مي‌کنيم.
گزاره 2-22. رابطه‌ي هموتوپي از طول q، يک رابطه‌ي هم‌ارزي مي‌باشد.
برهان. خاصيت بازتابي :همواره يک هموتوپي يکتا به طول صفر از a به a وجود دارد.
خاصيت تقارني: اگرF:a~b يک هموتوپي به طول qباشد، آن‌گاه -Fکه توسط -F(s,t)=F(s,q-t)تعريف مي‌شود يک هموتوپي ازb به aمي‌باشد.
خاصيت تعدي: اگر F:a~b و G:b~cبه ترتيب دو هموتوپي به طول‌هاي qوq^? باشند، جايي‌که a، bوc ، مسيرهايي به طول rاز xبه y هستند، آن‌گاه جمع FوG به صورت زير تعريف مي‌شود:
G+F:[0,r]×[0,q+q^? ]?X
(s,t)?{?(F(s,t) if [email protected](s,t-q) if q?t?q+q^? )?
در t=q داريم:
F(s,q)=b(s) , G(s,t-q)=G(s,q-q)=G(s,0)=b(s)
بنابراين چون F(s,t) و G(s,t-q)پيوسته و درt=q نيز F(s,t)=G(s,t-q)، پس بر اساس لم چسب،G+F پيوسته مي‌باشد.
همچنين براي هرt?[0,q+q^? ]، داريم:
G+F(s,0)=F(s,0)=a(s)
و
G+F(s,q+q^? )=G(s,q+q^?-q)=G(s,q^? )=c(s)
و s?[0,r]هر براي داريم:
G+F(0,t)=x , G+F(r,t)=y
بنابراينG+F:a~c .?
نکته 2-23. فرض کنيدF:[0,r]×[0,q]?X يک هموتوپي به طول qازa به bباشد به طوري‌کهa وb مسيرهايي ازx بهy به طول rمي‌باشند، آن‌گاه يک هموتوپي ? F?^?:a~bبه طول 1 وجود دارد که آن را به شکل زير تعريف مي‌کنيم:
F^?:[0,r]×[0,1]?X
(s,t)?F(s,qt)
براي هرs?[0,r]، داريم:
F^? (s,0)=F(s,0)=a(s) , F^? (s,1)=F(s,q)=b(s)
و براي هر t?[0,1]، چون 0?qt?q، داريم:
F^? (0,t)=F(0,qt)=x , F^? (r,t)=F(r,qt)=y
توجه 2-24. براي هر عدد حقيقي r?0 و x?X،فرض کنيدr_x، نماد يک مسيرثابت درx به طولr باشد. بدون از دست دادن کليت مسئله،r_x را با r نشان مي‌دهيم.
بنابراين براي هر مسيرa و r?0، مسيرهايa+r و r+a خوش تعريف مي‌باشند.
گزاره 2-25. فرض کنيد aوb دو مسير ازx بهy وc وd دو مسير ازy به z‌باشند جايي‌که |a|= |b|و|c|=|d|.
1- اگر a~b، آن‌گاه .-a~-b
2- اگرa~b و c~d، آن‌گاه .c+a~d+b
برهان قسمت 1-
فرض کنيد Fيک هموتوپي ازa بهb باشد. آن‌گاه F^?را به صورت زير تعريف مي‌کنيم:
F^? (s,t)=F(|a|-s,t)
بنابراين داريم:
F^? (s,0)=F(|a|-s,0)=F(s^?,0)=a(s)
F^? (s,q)=F(|a|-s,q)=F(s^?,q)=b(s)
و
F^? (o,t)=F(|a|,t)=y , F^? (|a|,t)=F(|a|-|a|,t)=F(o,t)=x
پس مي‌بينيم که ? F?^?يک هموتوپي بين -aو -b مي‌باشد.
برهان قسمت 2-
فرض کنيد F:a~bو G:c~d، آن‌گاه نگاشتH را به صورت زير تعريف مي‌کنيم:
H:[0,|c|+|a|]×[0,1]?X
(s,t)?{?(F(s,t) if s?|a|@G(s-|a|,t) if |a|?s)?
چون F(s,t)و G(s-|a|,t)پيوسته هستند و درs=|a| داريم:
F(|a|,t)=y , G(|a|-|a|,t)=G(0,t)=y
بنابراين براساس لم چسب،H پيوسته مي‌باشد.
از طرفي براي هر،s?[0,|c|+|a|] داريم:
H(s,0)=c(s)+a(s) , H(s,1)=d(s)+b(s)
و براي هر،t?[0,1] داريم:
H(0,t)=F(0,t)=x
H(|c|+|a|,t)=G(|c|+|a|-|a|,t)=G(|c|,t) =z
بنابراينH:c+a~d+b.?
تعريف 2-26: دو مسير هم‌ارز
فرض کنيد a وb دو مسيردرX ازx بهy باشند.اگراعداد حقيقيr,s?0 وجود داشته باشند به طوري‌که r+aوs+b هموتوپ باشند، a وb را هم‌ارز گوييم که در اين‌صورت بايد
|a|+r=|b|+s
گزاره 2-27: رابطه‌ي بالا يک رابطه‌ي هم‌ارزي است.
برهان. خاصيت بازتابي: چون رابطه‌ي هموتوپي داراي خاصيت بازتابي است بنابراين براي r?0،،r+a~r+a پس a وa هم‌ارز مي‌باشند.
خاصيت تقارن: چون رابطه‌ي هموتوپي داراي خاصيت تقارن مي‌باشد، بنابراين برايr,s?0، اگرr+a~s+b، آن‌گاه s+b~r+a، پس اگرa هم‌ارز باb باشد، آن‌گاهb نيز باa هم‌ارز مي‌باشد.
خاصيت تعدي: فرض کنيدa باb وb با aهم‌ارز باشند، هموتوپي‌هاي r+a~s+b و s^?+b~t+cوجود دارند جايي‌که aو bو c مسيرهايي در Xاز xبه yهستند و r,s,s^?,t?0، بنابراين هموتوپي‌هاي زير را داريم:
چونr+a~s+b، s^??0وs^?~s^?، پس طبق گزاره2-26 قسمت2، داريم:
s^?+r+a~s^?+s+b
و چونs^?+b~t+c، بنابراين
s^?+r+a~s^?+s+b=s+s^?+b~s+t+c
پس
s^?+r+a~s+t+c
با در نظر گرفتن ? s?^?+r=kو s+t=k^?، چون k,k^??0و k+a~k^?+c، پسa وc هم‌ارز مي‌باشند.?
تعريف 2-28. گروه‌وار بنيادي
فرض کنيد Xيک فضاي توپولوژيکي باشد. براي x,y?X قرار مي‌دهيم
?X={(x,[a],y)? a(1)=y ,a(0)=x و مسيرهاست از هموتوپي کلاس يک[a] }
در اين‌صورت ?X يک گروه‌وار است همراه با نگاشت‌هاي زير:
?((x,[a],y))=y , ?((x,[a],y))=x
1_x=(x,[c]_x,x) , ?(x,[a],y)?^(-1)=(y,[a]^(-1),x)
و . y=y^? اگر فقط و اگر (x,[a],y)o(y^?,[b],z)=(x,[aob],z)
نشان مي‌دهيم اين نگاشت‌ها شرايط گروه‌وار را دارند:
1- ?((x,[a],y)o(y,[b],z))=?(x,[aob],z)=z=?(y,[b],z)
و
?((x,[a],y)o(y,[b],z))=?(x,[aob],z)=x=?(x,[a],y)
2- (x,[a],y)o((y,[b],z)o(z,[c],w))=(x,[a],y)o(y,[boc],w)=
(x,[aoboc],w)=(x,[aob],z)o(z,[c],w)=
((x,[a],y)o(y,[b],z))o(z,[c],w)
3- ?(1_x )=?((x,[c]_x,x))=x , ?(1_x )=?((x,[c]_x,x))=x
4- (x,[a],y)o1_(?(x,[a],y))=(x,[a],y)o1_y=(x,[a],y)o(y,[c]_y,y)= (x,[aoc],y)=(x,[a],y)
و
1_(?(x,[a],y)) o(x,[a],y)=1_x o(x,[a],y)=(x,[c]_x,x)o(x,[a],y)=(x,[aoc],y)=(x,[a],y)
5- ?(?(x,[a],y)?^(-1) )=?((y,[a]^(-1),x))=x=?((x,[a],y))
و
?((x,[a],y)^(-1) )=?((y,[a]^(-1),x))=y=?((x,[a],y))
اين گروه‌وار را گروه‌وار بنيادي وابسته بهX مي‌گوييم.
به طريق مشابه اگر? ??_1 Xمجموعه‌ي همه‌ي کلاس‌هاي هموتوپي از مسيرهاي در Xباشد، آن‌گاه?_1 X، گروه‌وار مي‌باشد به اين‌صورت که:
?([a])=a(1) , ?([a])=a(0)
1_x=[c]_x , [a]^(-1)=[a^(-1) ] , [a]o[b]=[aob]
قضيه2-29.گروه‌وار بنيادي، يک تابعگون از رسته‌ي فضاهاي توپولوژيکي به رسته‌ي گروه‌وارها مي‌باشد.
برهان. ثابت مي‌کنيم?:Top?Grpd يک تابعگون است.
فرض کنيد Xيک شيء از رسته‌ي فضاهاي توپولوژيکي باشد، چون?X يک گروه‌وار روي X است پس ?، هر شيء از رسته‌يTop را به يک شيء از رسته‌ي Grpd مي‌برد.
حال فرض کنيد f:X?Yيک ريخت از رسته‌ي فضاهاي توپولوژيکي باشد. نشان مي‌دهيم
?f:?X??Y
[a]?[foa]
نيز يک ريخت از رسته‌ي گروه‌وارها است. ابتدا ثابت مي‌کنيم ?fخوش‌تعريف است.
فرض کنيد(x,[a],x^? ) و (x,[b],x^?)دو ريخت از گروه‌وار?X باشند به طوري‌که .[a]=[b]
ثابت مي‌کنيم [foa]=[fob].
بنابراينa و bمسيرهاي هموتوپيک در Xاز xبه ? x?^?مي‌باشند. يعني:
a,b:I?X
به طوري‌که a(0)=b(0)=xو a(1)=b(1)=x^?.
حالت اول: فرض کنيدa وb دو مسير هموتوپيک به طول qدرX ازx به? x?^?با طول مساويr باشند. پس نگاشت پيوسته‌ي F:[0,r]×[0,1]?Xوجود دارد به طوري‌که
براي F(s,0)=a(s) , F(s,1)=b(s) s?[0,r]هر
و
براي F(0,t)=x , F(r,t)=x^? t?[0,1]هر
براي تابع پيوسته‌ي f:X?Yو مسير پيوسته‌يa:I?X، مسير پيوسته‌ي
foa:I?Y
s?foa(s)
در Y وجود دارد به طوري‌که
foa(0)=f(x) , foa(1)=f(x^?)
به طور مشابه مسير پيوسته‌ي
fob:I?Y
s?fob(s)
درY وجود دارد به طوري‌که
foa(0)=f(x) , foa(1)=f(x^?)
نشان مي‌دهيمfoa وfob دو مسير هموتوپيک ازf(x) به f(x^?)در

دسته بندی : No category

دیدگاهتان را بنویسید