?(r)=p(s)
و
?(r)=p(r.s)
پس تابع
f:R*S?S
(r,s)?r.s
تعريف‌شده مي‌باشد. حال شرايط عمل را بررسي مي‌کنيم.
1- براي x?R_0و s??^(-1) (x)، داريم 1_x.s=?(1 ?_x). چون1 ?_(x ) يک طوقه با منبع s مي‌باشد پس ?(1 ?_x )=s. بنابراين 1_x.s=s.
2- براي r?R(x,y)، h?R(y,z)و s??^(-1) (x) داريم:
(hor).s=?(h ?or ? )=?(h ?)
و
h.(r.s)=h.(?(r ?))=?(h ?)
تعريف 3-7. ريخت بين عمل‌هاي چپ گروه‌واري
يک ريخت f:(A,?)?(A^?,?^?)از عمل‌هاي چپR ، يک تابع f:A?A^?است به طوري‌که
?^? f=?
و
f(r.a)=r.f(a)
جايي‌که r.a تعريف‌شده باشد.
بنابراين اگر r.a تعريف‌شده باشد، داريم ?(r)=?(a)و چون ?^? f=?، پس ?(r)=?(a)=?^? (f(a)) . درنتيجه r.f(a) نيز تعريف شده مي باشد.
نکته 3-8.براساس تعاريف 3-1 و 3-7، رسته‌ي Act(R) از عمل‌هاي چپ R روي مجموعه‌ها را داريم.
تعريف 3-9. عمل راست گروه‌وار
فرض کنيد R يک گروه‌وار روي ? R?_(0 )وS يک مجموعه‌ي دلخواه باشد. يک عمل راست R روي Sشامل يک تابع?:S?R_(0 ) و يک تابع جزئي
f:S*R?S
(s,r)?s.r
مي باشد جايي‌که
S*R={(s,r)?S×R??(r)=?(s)}
به‌طوري‌که به هر،x,y?R_(0 ) يک عنصر (s,r)?S×R نظير مي‌شود که r?R(x,y)، s?? ??^(-1) (x)و s.r??^(-1) (y).
همچنين در قوانين زير صادق باشد:
1- اگر x?R_0 و s??^(-1) (x)، آن‌گاه s.1_x=s.
2- اگر r?R(x,y)، h?R(y,z)و s??^(-1) (x)، آن‌گاه (s.h).r=s.(hor).
بنابراين مي‌گوييم Rروي Sتوسط ? از راست عمل مي‌کند.
تعريف 3-10. ريخت بين عمل‌هاي راست گروه‌واري
يک ريخت f:(A,?)?(A^?,?^?)از عمل‌هاي راست R، يک تابع f:A?A^?است به طوري‌که
?^? f=?
و
f(r.a)=r.f(a)
جايي‌که a.r تعريف‌شده باشد.
نکته 3-11. براساس تعاريف 3-9 و3-10، رسته‌ي Act(R) از عمل‌هاي راست R روي مجموعه‌ها را داريم.
مثال 3-12. گروه‌وار عملي
ضرب نيمه‌مستقيم ،A?R با تعريف زير تشکيل يک گروه‌وار مي‌دهد که آن را گروه‌وار عملي مي‌ناميم.
مجموعه اشياء گروه‌وار را Aو يک ريخت از گروه‌وار راجفت (a,r)در نظر مي‌گيريم به طوري‌که ?_R (r)=?(a).
نگاشت‌ها رابه‌صورت زير تعريف مي‌کنيم.
?_(A?R) (a,r)=a , ? ??_(A?R) (a,r)=r.a
1_(( )) (a)=(a,1_?(a) ) , i(a,r)=(r.a,a^(-1) )
و
(a,r)o(b,h)=(b,roh)
جايي‌که (a,r)، (b,h)وa=?_(A?R) (a,r)=?_(A?R) (b,h)=h.b تعريف‌شده باشند. در اين‌صورت (b,roh)نيز تعريف‌شده مي‌باشد زيرا
?_R (roh)=?_R (h)=?(b)
اکنون با فرض اين‌که تمام روابط زير بامعنا باشند، شرايط گروه‌وار را بررسي مي‌کنيم.
1- ?_(A?R) ((a,r)o(b,h))=?_(A?R) (b,roh)=b=?_(A?R) (b,h)
و
?_(A?R) ((a,r)o(b,h))=?_(A?R) (b,roh)=(roh).b=r.(h.b)=r.a
=?_(A?R) (a,r)
2- (a,r)o((b,h)o(c,k))=(a,r)o(c,hok)=(c,ro(hok))
و
((a,r)o(b,h))o(c,k)=(b,roh)o(c,k)=(c,(roh)ok)=(c,ro(hok))
3- ?_(A?R) (1_a )=?_(A?R) (a,1_?(a) )=a
و
?_(A?R) (1_a )=?_(A?R) (a,1_(?(a)) )=1_(?(a)).a=a
4- 1_(?(a,r)) o(a,r)=1_(r.a) o(a,r)=(r.a,1_(?(r.a)) )o(a,r)=(a,1_(?(r.a)) or)=
(a,1_(?(r)) or)=(a,r)
و
(a,r)o1_(?(a,r))=(a,r)o1_a=(a,r)o(a,1_(?(a)) )=(a,ro1_(?(a)) )=
=(a,r) (a,ro1_(?(r)) )
5- (a,r)o(r.a,r^(-1) )=(r.a,ror^(-1) )=(r.a,1_(?(r)) )=(r.a,1_(r.a) )=1_(r.a)=
1_(?(a,r))
و
(r.a,r^(-1) )o(a,r)=(a,r^(-1) or)=(a,1_(?(r)) )=(a,1_(?(a)) )=1_a=1_?(a,r)
گزاره 3-13. نگاشت تصويري
f:A?R?R
(a,r)?r
يک ريخت پوششي از گروه‌وارهاست.
برهان. فرض کنيد (a,r),(b,h)?A?R. داريم:
?_R of(a,r)=?_R (r)=?(a)
و
f_0 o?_(A?R) (a,r)=f_0 (a)=?(a)
همچنين
?_R of(a,r)=?_R (r)=?(a)
و
f_0 o?_(A?R) (a,r)=f_0 (a)=?(a)
با فرض اين‌که a=h.b، داريم:
f((a,r)o(b,h))=f(b,roh)=roh=f(a,r)of(b,h)
پس fيک ريخت از گروه‌وارها است.
همچنين براي هر x?A، واضح است که ? f?_x:?St?_(A?R) x??St?_R f(x)يک نگاشت دوسويي است. بنابراين نگاشت تصويريf يک ريخت پوششي از گروه‌وارهاست.?
گزاره 3-14. تابعگوني که يک عمل (چپ)R روي Aتوسط ?، مانند (A,?)را به ريخت پوششي
q_A:A?R?R , (a,r)?r
نظير مي‌کند، يک هم‌ارزي بين رسته‌ي Act(R) و زير رسته‌اي از GdCov(R) ايجاد مي‌کند.
برهان. با در نظر گرفتن ?:Act(R)?GdCov(R) و ?:GdCov(R)?Act(R)، نشان مي‌دهيم ?و ?دو تابعگون هستند به طوري‌که ???1_(GdCov(R)) و ???1_(Act(R)).
(A,?) يک شيء از رسته‌ي Act(R) است که توسط? به q_A:A?R?R از رسته‌ي GdCov(R)برده مي‌شود به طوري‌که ?(q_A)?_0=?. حال فرض کنيد f:(A,?)?(A^?,?^? )يک ريخت از عمل‌هاي Rباشد. داريم f:A?A^?به طوري‌که ?^? f=? و f(r.a)=r.f(a).
نشان مي‌دهيم ?(f)=h به طوري‌که جفت h:A?R?A^??R و ? h?_0=f:A?A^?يک ريخت پوششي از گروه‌وارها باشد.
براي هر (a,r)?A?R، داريم:
?_(A^??R) oh(a,r)=?_(A^??R) (f(a),r)=f(a)=h_0 (a)=
h_0 o?_(A?R) (a,r)
و
?_(A^??R) oh(a,r)=?_(A^??R) (f(a),r)=r.f(a)=f(r.a)=h_0 (r.a)=
h_0 o?_(A?R) (a,r)
براي (a,r),(b,g)?A?R، داريم:
h((a,r)o(b,g))=h(b,rog)=(f(b),rog)=(f(a),r)o(f(b),g)=
h(a,r)oh(b,g)
از طرفي تابع تحديد
h_x:?St?_(A?R) x??St?_(A^??R) h(x)
(x,r)?(f(x),r)
دوسويي است.
همچنين داريم:
?(1_((A,?)) )=1_(?(A,?))
بنابراين? يک تابعگون است.
نشان مي‌دهيم ?نيز يک تابعگون است.
ريخت پوششيq_A:A?R?R از GdCov(R)توسط ?به (A,q_0)برده مي‌شود که ?=q_0:A?R_0. بنابراين (A,q_0 )بيانگر عمل Rروي Aتوسط ? q?_0مي‌باشد. چون گروه‌وار A?Rرا با توجه به عمل Rروي Aتعريف کرديم پس (A,q_0 ) را همان عمل Rروي A در نظر مي‌گيريم.
اگر h:A?R?A^??Rيک ريخت پوششي از q_A به ? q?_(A^? )باشد به طوري‌که q_(A^? ) oh=q_A، نشان مي‌دهيم ?(h)=fبه طوري‌که
f:(A,q_0 )?(A^?,?q^??_0)
(r.a)?(r.h_0 (a))
يک ريخت از عمل‌هاي Rباشد. در گروه‌وار A?R، عمل Rروي A را توسط?(q_A)?_0:A?R_(0 ) و در گروه‌وار A^??R، عمل RرويA^? را توسط ? (q_(A^? ))?_0:A^??R_0 داريم. حال نشان مي‌دهيم fيک ريخت از عمل‌ها است. f=h_0:A?A^? تعريف مي‌کنيم. بنابراين داريم:
?(q_(A^? ))?_0 of(a)=?(q_(A^? ))?_0 oh_0 (a)=?(q_A)?_0 (a)
همچنين براي(r,a)?R*A، داريم:
f(r.a)=r.h_0 (a)=r.f(a)
چون ?(1_(q_A ) )=1_(?(q_A))، پس ?نيز يک تابعگون مي‌باشد.
درنتيجه داريم:
??(q_A )=?(A,?(q_A)?_0 )=q_A
پس ???1_(GdCov(R)).
همچنين
??(A,?)=?(q_A )=(A,?(q_A)?_0 )=(A,?)
پس ???1_(Act(R)).?
تعريف 3-15. گروه‌وار به‌ طورکلي غيرمتعدي
اگر به ازاي هر r?R، ?(r)=?(r)، گروه‌وار Rرا به طورکلي غيرمتعدي گوييم.
تعريف 3-16. فرض کنيد R و C گروه‌وارهايي با مجموعه اشياء يکسان باشند و فرض کنيد Cبه طورکلي غيرمتعدي باشد. عملR روي Cتوسط تابع جزئي
C×R?C
(c,a)?c^a
تعريف مي‌شود به طوري‌که در شرايط زير صدق کند:
1- ? c?^(a )تعريف مي‌شود اگر و فقط اگر ?(c)=?(a)، و آن‌گاه ?(c^a )=?(a).
2- ?.(c_1 oc_2)?^a=?c_1?^a o?c_2?^(a )
3- ?c_1?^aob=?(?c_1?^a)?^(b )و ?c_1?^(1_x )=c_1.
براي همه‌ي c,c_1,c_2?C(x)، a?R(x,y)و b?R(y,z).
تعريف 3-17. مدول ضربي گروه‌وارها
يک مدول ضربي از گروه‌وارها شامل يک ريخت ?:C?Rاز گروه‌وارهاي CوR است به طوري‌که ? ??_0روي مجموعه اشياء، هماني و C به طورکلي غيرمتعدي است، به همراه يک عملR روي Cبه طوري‌که در شرايط زير صدق کند:
1- ?(c^a )=a^(-1) o?(c)oa.
2- c^(?(c_1))=?c_1?^(-1) ococ_1.
براي هرc,c_1?C(x) وa?R(x,y).
يک مدول ضربي را با C=(C,R,?) نشان مي‌دهيم.
نکته 3-18. در تعريف مدول ضربي گروه‌وارها اگر شرط 2 يک شرط لازم نباشد به آن يک مدول پيش‌ضربي مي‌گوييم.
تعريف 3-19. ريخت بين مدول هاي ضربي
فرض کنيد C و ? C?^?مدول‌هاي ضربي باشند. يک ريخت f:C?C^?از مدول‌هاي ضربي، يک سه‌تايي f=(f_0,f_1,f_2)است به طوري‌که (f_0,f_1)يک ريخت از گروه‌وارهاي R?R^?و ? f?_2يک خانواده از ريخت‌هاي C?C^?مي‌باشد به طوري‌که نمودارهاي زير جابه‌جايي باشند:
نمودار5.
نمودار6.
نکته 3-20. با توجه به تعاريف 3-17 و 3-20، مي‌توانيم رسته‌ي Cmodاز مدول‌هاي ضربي گروه‌وارها را تعريف کنيم.
تعريف 3-21. R-فضاي چپ
فرض کنيم R يک گروه‌وار توپولوژيکي باشد. يک R-فضاي چپ، يک سه‌تايي (S;p,?)است که Sيک فضاي توپولوژيکي است، p:S?R_0يک تابع پيوسته است و
?:R*S?S
(r,s)?r.s
يک عمل پيوسته Rروي Sمي‌باشد که با نمودار برگردان زير داده شده است.
نمودار7.
همچنين عمل ?بايد در اصول زير صدق

دسته بندی : No category

دیدگاهتان را بنویسید