Yمي‌باشند.
تابع پيوسته‌ي foF را به صورت زير در نظر مي‌گيريم:
foF:[0,r]×[0,1]?Y
(s,t)?foF(s,t)
به طوري‌که
براي foF(s,0)=foa(s) , foF(s,1)=fob(s) s?[0,r]هر
و
براي foF(0,t)=f(x) , foF(r,t)=f(x^?) t?[0,1]هر
بنابراينfoF:foa~fob. پس[foa]=[fob].
حالت دوم: فرض کنيد aوb دو مسير هم‌ارز درX با طول‌هاي متفاوت ازx به ? x?^?مي‌باشند.
چون a و bمسيرهاي هم‌ارزند پس مسيرهاي ثابت rو s وجود دارند به طوري‌که r+aوs+b هموتوپ مي‌باشند. بنابراين طبق حالت اول، چون r+a~s+b، پس.fo(r+a)~fo(s+b)
از طرفي چونr و sمسيرهاي با طول ثابت rو sمي‌باشند داريم:
fo(r+a)=for+foa=r+foa
و
fo(s+b)=fos+fob=s+fob
بنابراين r+foa~s+fob. پس foa و fob دو مسير هم‌ارز درY از f(x)به f(x^?)مي‌باشند. پس .[foa]=[fob]
حال نشان مي‌دهيم?f يک ريخت گروه‌واري مي‌باشد.
مي دانيم ?(?f)?_0=f:X?Y، بنابراين داريم:
?_R o?f(x,[a],x^? )=?_R (f(x),[foa],f(x^?))=f(x^? )= fo?_H (x,[a],x^? )
و
?_R o?f(x,[a],x^? )=?_R (f(x),[foa],f(x^?))=f(x)= fo?_H (x,[a],x^? )
همچنين داريم:
?f((x,[a],x^? )o(x^?,[b],y))=?f(x,[aob],y)=(f(x),[fo(aob)],f(y))
=(f(x),[(foa)o(fob)],f(y))=(f(x),[foa],f(x^?))o(f(x^? ),[fob],f(y))
=?f(x,[a],x^? )o?f(x^?,[b],y)
با در نظر گرفتن ريخت هماني 1_X:X?X، داريم:
?1_X:?X??X
[a]?[1_X oa]
چون براي هر ،a?X داريم 1_X oa=a، و همچنين با توجه به ريخت هماني
1_?X:?X??X
[a]?[a]
داريم:
?1_X (x,[a],x^? )=(x,[1_x oa],x^? )=(x,[a],x^? )=1_?X (x,[a],x^?)
همچنين برايf:X?Y و g:Y?Zداريم:
?(gof):?X??Z
[a]?[(gof)oa]
به طوري‌که
?(gof)(x,[a],x^? )=((gof)(x),[(gof)oa],(gof)(x^?))=
(g(f(x)),[go(foa)],g(f(x^?)))=?g(f(x),[foa],f(x^? ))=
(?go?f)(x,[a],x^?)
بنابراين? يک تابعگون همورد مي‌باشد.?
تعريف 2-30. زيررسته
فرض کنيم C وD رسته باشند. Dيک زيررسته از C است اگر
1-هر شيء Dيک شيء ازC باشد، يعنيD_0?C_(0 ).
2- براي هر x,y?D_(0 ) داريمD(x,y)?C(x,y).
3- ترکيب ريخت‌ها درD همانند ترکيب ريخت‌ها در C باشد.
4- براي هر،x?D_(0 ) هماني در D(x,x)، همان هماني درC(x,x) مي‌باشد.
تعريف 2-31. زيررسته‌ي کامل
اگر براي هرx,y?D_(0 ) ، D،(x,y)=C(x,y)زير رسته‌ي D از C، يک زير رسته‌ي کامل ناميده مي‌شود.
تعريف 2-32. زير رسته ي عريض
اگرD_0=C_(0 )، زير رسته‌ي D ازC ، يک زير رسته‌ي عريض ناميده مي شود.
مثال 2-33. براي هر رسته‌ي Cمي‌توانيم يک زير رسته‌ي کامل ازC بدست آوريم، به اين ترتيب که? D?_(0 )را مي‌توانيم هر کلاس از اشياءC قرار دهيم و براي هر x,y?D_0، ، D(x,y)=C(x,y) تعريف کنيم.
تعريف 2-34. زيرگروه‌وار از ديدگاه رسته
فرض کنيد R يک گروه‌وار باشد. يک زيرگروه‌وار از،R يک زيررسته‌ي H از R است به طوري‌که اگرa?H، آن‌گاه a^(-1)?H، يعني Hيک زيررسته است به طوري‌که يک گروه‌وار نيز باشد.
نکته 2-35. تعريف 2-35، با تعريف 2-20، از زير گروه‌وار معادل است.
برهان. به‌سادگي ديده مي‌شود که شرايط در هر دو يکسان تعريف شده است.
تعريف 2-37. زيرگروه‌وار کامل
اگرH يک زيررسته‌ي کامل از R باشد، آن‌گاه H يک زيرگروه‌وار کامل ازR است.
تعريف 2-38. زيرگروه‌وار عريض
اگرH يک زيررسته‌ي عريض از Rباشد، آن‌گاه Hيک زيرگروه‌وار عريض ازR است.
نکته 2-39. يک گروه‌وار با تنها يک شيء، يک گروه ناميده مي‌شود. مانند R(x)که يک گروه شي‌اي ناميده مي‌شود.
تعريف 2-40. گروه‌وار توپولوژيکي
يک گروه‌وار توپولوژيکي، يک گروه‌وار R است به طوري‌که مجموعه‌هاي Rو ? R?_0فضاهاي توپولوژيکي باشند ونگاشت‌هاي منبع، هدف، شيء، معکوس و ترکيب پيوسته باشند.
تعريف 2-41. ريخت بين گروه‌وارهاي توپولوژيکي
فرض کنيد Hو Rدو گروه‌وار توپولوژيکي باشند. يک ريخت از گروه‌وارهاي توپولوژيکي، يک جفت از نگاشت‌هاي f:H?Rو ? f?_0:H_0?R_0است به طوري‌که fو ? f?_0پيوسته باشند.
تعريف 2-42. فرض کنيم R_( ?) ×_(? f?_0 ) H_0={(a,x)?R×H_0??(a)=f_0 (x)}، اگر f:H?R يکريخت پوششي باشد، آن‌گاه يک تابع بالابرنده‌ي s_f:R_( ?) ×_(? f?_0 ) H_0?H داريم که به جفت (a,x)در ? R?_( ?) ×_(? f?_0 ) H_0عنصر يکتاي bاز ? St?_H xرا نشان مي‌دهد به طوري‌که f(b)=a.
از طرفي ? s?_fوارون (f,?):H?R_( ?) ×_(? f?_0 ) H_(0 )مي‌باشد.
گزاره 2-43. تعريف بالا بيانگر اين است که f:H?R يک ريخت پوششي است اگروفقط اگر (f,?):H?R_( ?) ×_(? f?_0 ) H_(0 ) دوسويي باشد.
برهان. f:H?R يک ريخت پوششي است، پس ? f?_x:?St?_H x??St?_R f(x)دوسويي مي‌باشد يعني براي هر b??St?_H x، داريم ?(b)=x و f(b)=aعنصري در ? St?_R f(x)مي‌باشد. بنابراين ?(a)=f_0 (x)و اين معادل است با تعريف نگاشت (f,?):H?R_( ?) ×_(? f?_0 ) H_0، به اين‌صورت که هرb را به f(b)=a و?(b)=x ببريم و چون f يک ريخت است، داريم:
f_o (x)=f_0 o?_H (b)=?_R (f(b))=?_R (a)
بنابراين (a,x)?R_( ?) ×_(? f?_0 ) H_0، پس نگاشت (f,?) خوش‌تعريف مي‌باشد.?
تعريف 2-44. ريخت پوششي توپولوژيکي
يک ريخت f:H?Rاز گروه‌وارهاي توپولوژيکي، يک ريخت پوششي توپولوژيکي ناميده مي‌شود اگر و فقط اگر (f,?):H?R_( ?) ×_(? f?_0 ) H_(0 )همئومورفيسم باشد.
مثال 2-45. اگر(R,R_0) و (R^?,?R^??_0)دو گروه‌وار توپولوژيکي باشند، نشان مي‌دهيم (R×R^?,R_0×?R_0?^?)نيز يک گروه‌وار توپولوژيکي است.
در مثال 2-9، نشان داديم که (R×R^?,R_0×?R_0?^?)يک گروه‌وار است. از طرفي چون(R,R_0) و (R^?,?R^??_0 ) گروه‌وارهاي توپولوژيکي هستند، پس نگاشت‌هاي منبع، هدف، شيء، معکوس و ترکيب در هر دو پيوسته مي‌باشند. بنابراين طبق تعريف، نگاشت‌هاي گروه‌واري (R×R^?,R_0×?R_0?^?) نيز پيوسته مي‌باشند.
اکنون با قرار دادن توپولوژي حاصل‌ضربي دو گروه‌وار توپولوژيکي (R,R_0)و (R^?,?R^??_0 )، روي گروه‌وار (R×R^?,R_0×?R_0?^?)، به يک گروه‌وار توپولوژيکي تبديل مي شود.
گزاره 2-46. فرض کنيد نمودار جابه‌جايي زير يک نمودار از ريخت‌هاي گروه‌وارهاي توپولوژيکي باشد به طوري‌که q يک ريخت پوششي توپولوژيکي است. p يک ريخت پوششي توپولوژيکي است اگر و فقط اگر r يک ريخت پوششي توپولوژيکي باشد.
نمودار3.
برهان. فرض کنيد q و r ريخت‌هاي پوششي توپولوژيکي از گروه‌وارها باشند. براساس نمودار زير، براي هر x?R_0،p_(x ) را به‌صورت p_x=q_(r(x)) or_(x ) تعريف مي‌کنيم.
نمودار4.
چون q_(r(x)) وr_(x ) همئومورفيسم هستند و ترکيب دو نگاشت همئومورفيسم، همئومورفيسم مي‌باشد، پسp_(x ) نيز همئومورفيسم است. بنابراينp يک ريخت پوششي توپولوژيکي از گروه‌وارها مي‌باشد.
بالعکس فرض کنيد q و p دو ريخت پوششي توپولوژيکي باشند. طبق حالت قبل داريم p_x=q_(r(x)) or_x. چون q_(r(x)) همئومورفيسم است، پس ?q^(-1)?_(r(x)) نيز همئومورفيسم مي‌باشد. بنابراين براي هر x?R_0، ? r?_xرا به‌صورت r_x=?q^(-1)?_(r(x)) op_x تعريف مي‌کنيم. چون ?q^(-1)?_(r(x))
و ? p?_xهمئومورفيسم هستند، ? r?_xنيز همئومورفيسم مي‌باشد. بنابراين r يک ريخت پوششي توپولوژيکي از گروه‌وارها مي‌باشد.?
فصل سوم
عمل گروه‌وار و کاربرد آن در R-فضاها
تعريف 3-1. عمل چپ گروه‌وار
فرض کنيد Rيک گروه‌وار روي ? R?_0و Sيک مجموعه‌ي دلخواه باشد. عمل چپ Rروي S، شامل يک تابع?:S?R_(0 ) و يک تابع جزئي
f:R*S?S
(r,s)?r.s
است جايي‌که
R*S={(r,s)?R×S??(r)=?(s)}
به طوري‌که به هر x,y?R_0، يک عنصر(r,s)?R×S نظير مي‌شود کهr?R(x,y)، s??^(-1) (x)وr.s??^(-1) (y).
همچنين بايد در قوانين زير صادق باشد:
1- اگر x?R_0 و s??^(-1) (x)، آ‌ن‌گاه ‌1_x.s=s.
2- اگرr?R(x,y)، h?R(y,z)و s??^(-1) (x)، آن‌گاه (hor).s=h.(r.s).
بنابراين مي‌گوييمR روي Sتوسط ? از چپ عمل مي‌کند. همچنين S يک R-مجموعه مي‌باشد.
نکته 3-2. از تعريف بالا براي يک عمل مي‌بينيم که عنصر r?R(x,y)، نگاشت دوسويي
r_?:?^(-1) (x)??^(-1) (y)
s?r.s
را تعريف مي‌کند.
تعريف 3-3. عمل متعدي
اگر براي هر x,y?R_0، s??^(-1) (x)و t??^(-1) (y)، يک r?R(x,y)، موجود باشد به طوري‌که r.s=t، عمل را متعدي گوييم.
تعريف 3-4. فرض کنيم p:R ??Rيک ريخت پوششي باشد.
اصطلاحاً مي‌گوييم عنصر a ?از R ?، pa ? را مي‌پوشاند يا يک بالابر از pa ? مي‌باشد. به طور مشابه مي‌گوييم ترکيب a ?_n o…oa ?_1در R ?، pa ?_n o…opa ?_1 را مي‌پوشاند يا يک بالابر از pa ?_n o…opa ?_1است.
گزاره 3-5. فرض کنيد (x ) ?يک شيء از R ? و px ?=x. اگر a=a_n o…oa_1 متعلق به?St?_R x باشد آن‌گاه عناصر يکتاي a ?_n,…a ?_1از R ?وجود دارند به طوري‌که
1- برايi=1,…,n ، pa ?_i=a_i.
2- a ? به‌صورت a ?=a ?_n o…oa ?_1 تعريف مي‌شود و متعلق به ?St?_R ? x ? مي‌باشد.
برهان. فرض کنيد براي هر y ??R ?_0، نگاشت دوسويي p:?St?_R ? y ???St?_R py ? باشد. بنابراين عناصر a ?_i با قرار دادن شرايط زير به طور يکتا تعريف مي‌شوند.
1- pa ?_i=a_i.
2- a ?_1??St?_R ? x ?.
3- a ?_i??St?_R ? x ?_i جايي‌که x ?_1=x ? و براي i1،x ?_(i ) نقطه‌ي پايانيa ?_(i-1 ) باشد.
بنابراين ترکيب a ?=a ?_n o…oa ?_1 بامعنا مي‌باشد و نقطه‌ي شروع a ?همان نقطه‌ي شروع a ?_1 يعني x ?مي‌باشد. پس a ???St?_R ? x ?.?
مثال 3-6. فرض کنيد p:R ??R يک ريخت پوششي از گروه‌وارها باشد. همچنين فرض کنيد S=R ?_0 و ?=p_0، آن‌گاه يک عمل چپ از Rروي Sتوسط ?را به اين‌صورت تعريف مي‌کنيم که به هر s?S و r??St?_R p(s)، هدف بالابر يکتاي rبا منبع sرا نسبت مي‌دهيم. به اين‌ معني که عمل r.sرا هدف بالابر يکتاي r تعريف مي‌کنيم.
بالابر يکتاي rرا r ? در نظر مي‌گيريم. طبق تعريف 3-4، pr ?=rو چون pيک ريخت است پس p(?(r ?))=?(r) و p(?(r ?))=?(r). بنابراين داريم:

دسته بندی : No category

دیدگاهتان را بنویسید