براساس عمل داده شده، خوش‌تعريف مي‌باشند، يعني مدارهاي فضاي S، کلاس‌هاي هم‌ارزي تحت رابطه‌ي هم‌ارزي s~tمي‌باشند، جايي‌که s~tاگر و فقط اگر r?Rموجود باشد به طوري‌که s.r=t.
مجموعه‌ي مدارهاي Sتحت عمل R (از راست) را با S?R نشان مي‌دهيم.
نکته 3-33. با قرار دادن شرط s.r=r^(-1).s، روي عمل R، به راحتي مي‌توان يک R-فضاي چپ را به يک R-فضاي راست به‌صورت زير تبديل کرد.
فرض کنيد (S;p,?)يکR -فضاي چپ باشد، بنابراين با توجه به‌ اين‌که s.r=r^(-1).sو r^(-1).s تعريف‌شده مي‌باشد، داريم:
?(r^(-1) )=p(s) , ?(r^(-1) )=p(a^(-1).s)
وچون يک گروه‌وار است داريم ?(r^(-1) )=?(r)و ?(r^(-1) )=?(r).
درنتيجه
?(r)=?(r^(-1) )=p(s)
و
?(r)=?(r^(-1))=p(r^(-1).s)=p(s.r)
بنابراين s.rنيز تعريف‌شده مي‌باشد.
مي‌دانيم ? r?^(-1).sيک عمل چپ پيوسته است پس s.r نيز پيوسته مي‌باشد. حال با بررسي اصول زير مي‌بينيم
?:S*R?S
(s,r)?s.r=r^(-1).s
يک عمل راست پيوسته مي‌باشد.
با فرض اينکه روابط زير تعريف‌شده باشند، داريم:
1- p(s.r)=p(r^(-1).s)=?(r^(-1) )=?(r)
2- s.1_(p(s))=?(1_(p(s)))?^(-1).s=s
3- (s.r).h=(r^(-1).s).b=h^(-1).(r^(-1).s)=
s.(roh) (h^(-1) or^(-1) ).s=(roh)^(-1).s =
بنابراين (p,?;S)يک R-فضاي راست مي‌باشد.?
فصل چهارم
حلقه-گروه‌وارهاي توپولوژيکي
تعريف 4-1. گروه توپولوژيکي
يک گروه توپولوژيکي، يک گروهR است با يک توپولوژي روي آن به طوري‌که نگاشت‌هاي ساختار گروهي( ضرب گروهي و معکوس گروهي)پيوسته باشند.
تعريف 4-2. ريخت بين گروه‌هاي توپولوژيکي
يک ريخت گروهي توپولوژيکي از يک گروه توپولوژيکي به ديگري، يک همريختي گروهي است که به‌ عنوان يک نگاشت، پيوسته نيز مي‌باشد.
تعريف 4-3. گروه-گروه‌وار توپولوژيکي
گروه-گروه‌وار توپولوژيکي، يک گروه‌وار توپولوژيکي است که مجهز به يک ساختار گروه توپولوژيکي مي‌باشد به قسمي‌که نگاشت‌هاي ساختار گروهي زير ريخت‌هاي گروه‌وارهاي توپولوژيکي باشند.
1- ضرب گروهيm:R×R?R , (a,b)?a+b .
2- معکوس گروهيu:R?R , a?-a .
3- باشد منفرد(*)که جايي .e :(*)?R
اگر e را به عنوان عنصر هماني ? R?_0در نظر بگيريم، 1_e عنصر هماني Rمي‌شود.
همچنين به اين دليل که mيک ريخت گروه‌واري است، قانون تناوبي زير برقرار مي‌باشد:
(boa)+(doc)=m((boa),(doc))=m((b,d)o(a,c))=
m(b,d)om(a,c)=(b+d)o(a+c)
تعريف 4-4. ريخت گروه-گروه‌وار
فرض کنيم RوH دو گروه-گروه‌وار توپولوژيکي باشند. يک ريخت f:H?R از گروه-گروه‌وارهاي توپولوژيکي، يک ريخت از گروه‌وارهاي توپولوژيکي است که ساختار گروه توپولوژيکي را نيز حفظ مي‌کند يعنيf(a+b)=f(a)+f(b).
مثال 4-5. فرض کنيم R يک گروه باشد. نشان مي‌دهيمR×R يک گروه-گروه‌وار است. چون R يک گروه است و هر گروه خود يک گروه‌وار است پس R يک گروه‌وار مي‌باشد. همچنين در فصل 2 نشان داديم که ? R?_0×R_0يک گروه‌وار رويR_(0 ) است، پس به طور مشابه R×Rنيز يک گروه‌وار روي Rمي‌باشد.
از آنجا که R يک گروه است، R×R نيز يک گروه است با نگاشت‌هاي گروهي که از نگاشت‌هاي گروهي R به دست مي‌آيند، به اين‌صورت ‌که (x,y)+(z,t)=(x+z,y+t)، عنصر يکه R×R، (e,e)است جايي‌کهe عنصر يکه R مي‌باشد و معکوس (y,x)، (-y,-x)است جايي‌که -yمعکوسy و -xمعکوس xدر R مي‌باشند.
نشان مي‌دهيم نگاشت‌هاي ساختار گروهي R×R،ريخت‌هاي گروه‌واري هستند.
m(((z,y),(z^?,y^? ))o((y,x),(y^?,x^?)))=
m(((z,y)o(y,x)),((z^?,y^? )o(y^?,x^?)))=
m((z,x),(z^?,x^?))=(z+z^?,x+x^?)
و
m((z,y),(z^?,y^?))om((y,x),(y^?,x^?))=(z+z^?,y+y^? )o(y+y^?,x+x^? )
=(z+z^?,x+x^?)
e((y,x)o(x,z))=e(y,z)=1_e=(e,e)=(e,e)o(e,e)=1_e o1_e=
e(x,y)oe(y,z)
u((x,y)o(y,z))=u(x,z)=(-x,-z)=(-x,-y)o(-y,-z)=
u(x,y)ou(y,z)
قانون تناوبي نيز برقرار است:
((b,a)o(a,c))+((b^?,a^? )o(a^?,c^?))=(b,c)+(b^?,c^? )=(b+b^?,c+c^? )
=(b+b^?,a+a^? )o(a+a^?,c+c^?)
بنابراين R×Rيک گروه-گروه‌وار مي‌باشد.
نتيجه 4-6. فرض کنيد R يک گروه-گروه‌وار باشد. آن‌گاه نگاشت‌هاي منبع، هدف، شيء و معکوس، ريخت‌هاي گروهي هستند.
برهان. مي‌دانيم Rو ? R?_0گروه مي‌باشند.
1- نشان مي‌دهيم ?(r_1+r_2 )=?(r_1)+?(r_2).
چون m يک ريخت گروه‌واري است، داريم:
نمودار9.
?_R om(r_1,r_2)=m_0 o?_(R×R) (r_1,r_2)
?_R (r_1+r_2 )=m_0 (?(r_1 ),?(r_2))=?(r_1 )+?(r_2)
2- نشان مي‌دهيم ?(r_1+r_2 )=?(r_1)+?(r_2).
?_R om(r_1,r_2)=m_0 o?_(R×R) (r_1,r_2)
?_R (r_1+r_2 )=m_0 (?(r_1 ),?(r_2))=?(r_1 )+?(r_2)
3- نشان مي‌دهيم i(a+b)=i(a)+i(b).
طبق گزاره 2-13، چون mيک ريخت گروه‌واري است، داريم:
moi(a,b)=iom(a,b)
m(i(a),i(b))=i(a)+i(b)=i(a+b)
نشان مي‌دهيم1_((a+b ))=1_a+1_(b ).
1_((?) ) om_0 (a,b)=mo1_((?) ) (a,b)
1_(( a+b))=m(1_a,1_b )=1_a+1_b
گزاره4-7.
1- فرض کنيد Rيک گروه-گروه‌وار باشد. آن‌گاه مجموعه‌ي هماني‌هاي A={1_x?x?R_0 }، يک زيرگروه-گروه‌وار عريض ازR است.
2- فرض کنيد R={R_i?i?I}يک خانواده از گروه-گروه‌وارهاي توپولوژيکي باشد. آن‌گاه ضرب R=?_(i?I)?R_i يک گروه-گروه‌وار توپولوژيکي است.
برهان. قسمت1-
ابتدا ثابت مي‌کنيم Aيک گروه‌وار روي ? A?_0 ?=R?_0است.
داريم A?Rو A_0?R_0. بنابراين نگاشت‌ها را به‌صورت زير تعريف مي‌کنيم.
نگاشت‌هاي منبع و هدف
?,?:A?R_0
1_x?x
نگاشت شيء
1_(( )):R_0?A
x?1_x
نگاشت معکوس
i:A?A
1_x???(1?_x)?^(-1)
جايي‌که ??(1?_x)?^(-1) وارون1_x درR باشد.
نگاشت ترکيب
O:A×A?A
(1_x,1_y)?1_x o1_y
جايي‌کهx=y.
بنابراين داريم:
1-?(A)?R_(0 )، ?(A)?R_(0 )و1_(( ) ) (R_0 )?A .
2- براي هر1_x?A،1_x o1_y?A .
3- براي هر1_x?A، داريم:
1_x o?(1_x)?^(-1)=1_(?(x))=1_x=1_x o1_x
در نتيجه??(1?_x)?^(-1)=1_x?A.
پسA يک زيرگروه‌وار عريض ازR مي‌باشد. حال نشان مي‌دهيم A داراي ساختار گروه مي‌باشد.
فرض کنيد 1_x,1_y?A، چون ? R?_0گروه است، براي هرx,y?R_0 داريم x-y?R_0، وچون نگاشت شيء،يک ريخت گروهي است، داريم:
1_x-1_y=1_(x-y)?A
پس Aيک زيرگروه از R مي‌باشد.
چون نگاشت‌هاي ساختار گروهي R، ريخت‌هاي گروهي هستند، بنابراين با تحديد نگاشت‌هاي ساختار گروهي Rبه A، نگاشت‌هاي ساختار گروهي Aنيز ريخت‌هاي گروه‌واري مي‌باشند.
درنتيجه Aيک زيرگروه-گروه‌وار عريض ازR مي‌باشد.
برهان قسمت2-
ابتدا نشان مي‌دهيم (R=?_(i?I)?R_i ,R_0=?_(i?I)??(R_i)?_0 ,+)يک گروه-گروه‌وار است.
اشياء R، براي هر x_i??(R_i)?_0، مجموعه‌ي همه‌ي ? (x_i)?_(i?I)است و ريخت‌هاي R، براي هرr_i?R_i، مجموعه‌ي همه‌ي?(r_i)?_(i?I) مي‌باشد. بنابراين عمل گروه Rرا روي? R?_(0 )به صورت زير تعريف مي‌کنيم:
براي هر(r_i,h_i)?R_i×R_i و (x_i,y_i)??(R_i)?_0×?(R_i)?_0، داريم:
?(r_i)?_(i?I)+?(h_i)?_(i?I)=?(r_i+h_i)?_(i?I)
و
?(x_i)?_(i?I)+?(y_i)?_(i?I)=?(x_i+y_i)?_(i?I)
اگر براي هر i، ? e?_iعضو هماني ? (R_i)?_0و1_(e_i ) عضو هماني ? R?_iباشد، پس? (e_i)?_(i?I) را عضو همانيR_(0 ) و ? (1_(e_i ))?_(i?I)را عضو هماني Rدر نظر مي‌گيريم.
همچنين? (-r_i)?_(i?I)را وارون ? (r_i)?_(i?I) و ? (-x_i)?_(i?I)را وارون ? (x_i)?_(i?I) در نظر مي‌گيريم جايي‌که براي هر i، -r_i وارون r_(i ) و -x_iوارون ? x?_iمي‌باشد.
پسR و? R?_(0 )تشکيل گروه مي‌دهند.
بنابراين R يک گروه‌وار روي R_(0 )است به همراه نگاشت‌هاي زير:
نگاشت منبع
?:R?R_0 , ?(r_i)?_(i?I)??(?_i (r_i))?_(i?I)
نگاشت هدف
?:R?R_0 , ?(r_i)?_(i?I)??(?_i (r_i))?_(i?I)
نگاشت شي
1_(( )):R_0?R , ?(x_i)?_(i?I)??(1_(x_i ))?_(i?I)
جايي‌که 1_(x_i ) نگاشت شيءR_i باشد.
نگاشت معکوس
i:R?R , ?(r_i)?_(i?I)??(?r_i?^(-1))?_(i?I)
جايي‌که ?r_i?^(-1) وارون r_i در گروه‌وار R_i باشد.
نگاشت ترکيب
O:R×R?R , (?(r_i)?_(i?I),?(h_i)?_(i?I))??(r_i oh_i)?_(i?I)
جايي‌که r_i oh_i درR_i تعريف‌شده باشد.
به‌سادگي ديده مي‌شود که شرايط گروه‌وار نيز برقرار است.
نشان مي‌دهيم نگاشت‌هاي ساختار گروهي، ريخت‌هاي گروه‌واري هستند.
براي m:R×R?R داريم:
?_R om((r_i )_(i?I),?(h_i)?_(i?I) )=?_R (?(r_i+h_i)?_(i?I) )=?(?_i (r_i+h_i))?_(i?I)
و
m_0 o?_(R×R) (?(r_i)?_(i?I),?(h_i)?_(i?I) )=m_0 (?_R ?(r_i)?_(i?I),?_R ?(h_i)?_(i?I) )=
m_0 (?(?_i (r_i))?_(i?I),?(?_i (h_i))?_(i?I) )=(?_i (r_i )+?_i (h_i))_(i?I)=?(?_i (r_i+h_i))?_(i?I)
همچنين داريم:
m((?(r_i)?_(i?I),?(h_i)?_(i?I) )o(?(k_i)?_(i?I),?(l_i)?_(i?I)))=
m((?(r_i)?_(i?I) o?(k_i)?_(i?I) ),(?(h_i)?_(i?I)

دسته بندی : No category

دیدگاهتان را بنویسید