کند:
1- p(r.s)=?(r).
2- h.(r.s)=(hor).s.
3- 1_(p(s)).s=s.
جايي‌که روابط بالا تعريف‌شده باشد.
بنابراين مي‌گوييم Sيک R-فضاي چپ است توسط p.
تعريف 3-22. ريخت بين R-فضاهاي چپ
يک ريخت (S;p,?)?(S^?;p^?,?^?) از R-فضاهاي چپ، شامل يکتابع پيوسته‌ي f:S?S^?است به طوري‌که p^? f=pو f(r.s)=a.f(s)، جايي‌که r.sتعريف‌شده باشد.
نکته 3-23. براساس تعاريف 3-22 و 3-23، رسته اي به نام Top(R)از R-فضاها داريم.
قضيه 3-24. رسته‌ي Top(R) و TCov(R)هم‌ارز مي‌باشند.
برهان. تابعگون‌هاي ?:TCov(R)?Top(R)و ?:Top(R)?TCov(R)را تعريف مي‌کنيم.
فرض کنيد q:H?R يک ريخت پوششي توپولوژيکي است، پس طبق تعريف2-43، (q,?_R ):H?R_( ?) ×_(? q?_0 ) H_(0 )همئومورفيسم مي‌باشد. بنابراين H s_q:R_( ?) ×_(? q?_0 ) H_0? معکوس پيوسته‌ي (q,?_R)است. همچنين
?=?_H (s_q ):R_( ?) ×_(? q?_0 ) H_0?H_0
(a,x)?r.x
را جايي‌که ?_R (a)=q_0 (x)، در نظر مي‌گيريم. ? s?_qپيوسته است وR يک گروه‌وار توپولوژيکي است، پس ? ??_Hپيوسته مي‌باشد. بنابراين ?=?_H (s_q )پيوسته است.
حال ثابت مي‌کنيم ?(q)=(H_0,q_0,?) يک R-فضا است.
چون Hيک گروه‌وار توپولوژيکي است، پسH و H_0 فضاهاي توپولوژيکي مي‌باشند. در نتيجه ? H?_0يک فضاي توپولوژيکي است. چون q يک ريخت پوششي توپولوژيکي است، ? q?_0:H_0?R_0يک نگاشت پيوسته مي‌باشد.
از طرفي ? که يک نگاشت پيوسته است در سه اصل مربوط به يک عمل صدق مي‌کند، بنابراين ? يک عمل پيوسته از Rروي? H?_(0 )مي‌باشد. پس ?(q)=(H_0,q_0,?) يک R-فضا است.
يک ريخت در رسته‌ي TCov(R)، از p:H?R به p^?:G?R، طبق2-45، يک ريخت پوششي توپولوژيکي h:H?Gمي‌باشد به طوري‌که p^? oh=p.
نشان مي‌دهيم ريختي مانندh از رسته‌ي TCov(R)، يک ريخت از R-فضاها را به صورت زير القا مي‌کند.
فرض کنيد ?(p)=(H_0,p_0,?)به طوري‌که ? H?_0يک فضاي توپولوژيکي، ? p?_0:H_0?R_0و
?:R×H_0?H_0باشد. همچنين ?(p^? )=(G_0,?p^??_0,?^?)به طوري‌که ? G?_0يک فضاي توپولوژيکي، ?? p?^??_0:G_0?R_0و ?^?:R×G_0?G_(0 )باشد. بنابراين ثابت مي‌کنيم k:(H_0;p_0,?)?(G_0;?p^??_0,?^? )يک ريخت از R-فضاها است.
تابع f=h_0:H_0?G_0را در نظر مي‌گيريم. چون hيک ريخت پوششي توپولوژيکي است، پس ? h?_0پيوسته است. بنابراين fيک تابع پيوسته از ? H?_0به ? G?_0مي‌باشد.
ازطرفي چون p^? oh=p، پس ?p^??_0 of=?p^??_0 oh_0=p_0.
همچنين
f(a.s)=h_0 (a.s)=h_0 (s)=f(s)=a.f(s)
جايي‌که a.s تعريف شده باشد، بنابراين ?(a)=p_0 (s)=?p^??_0 (f(s))، درنتيجه a.f(s)تعريف‌شده مي‌باشد.
پس kيک ريخت از R-فضاها است، در نتيجه ?شرايط لازم يک تابعگون را دارد.
حال ثابت مي‌کنيم ?نيز شرايط لازم يک تابعگون را دارد.
فرض کنيد (S;p,?) يک R-فضا باشد. با تعريف نگاشت‌هاي زير، R*Sرا به يک گروه‌وار توپولوژيکي با فضاي شي‌اي S تبديل مي‌کنيم.
?(a,s)=s , ?(a,s)=a.s
u(s)=(1_(p(s)),s) , i(a,s)=(a^(-1),a.s)
O((b,t),(a,s))=(boa,s)
به‌سادگي ديده مي‌شود که در 5 شرط گروه‌وار نيز صادق است. بنابراين R*Sيک گروه‌وار مي‌باشد.
چون Rيک گروه‌وار توپولوژيکي است، پس R يک فضاي توپولوژيکي مي‌باشد. از طرفي Sنيز يک فضاي توپولوژيکي است، بنابراين توپولوژي R*Sرا، به‌عنوان زيرفضايي از R×S، توپولوژي حاصل‌ضربي در نظر مي‌گيريم.
چون عمل گروه‌وار R و نگاشت‌هاي شيء، معکوس و ترکيب در گروه‌وار R پيوسته مي‌باشند، پس نگاشت‌هاي تعريف‌شده براي گروه‌وار R*S پيوسته مي‌باشند. بنابراين R*S يک گروه‌وار توپولوژيکي است.
حال نشان مي‌دهيم
q:R*S?R , (a,s)?a
يک ريخت پوششي توپولوژيکي از گروه‌وارها است. براي اين‌کار ابتدا نشان مي‌دهيم که نگاشت تصويريq:R*S?R يک ريخت از گروه‌وارهاي توپولوژيکي است، جايي‌که (a,s)با‌معنا باشد.
?_R oq(a,s)=?_R (a)=q_0 (s)=q_0 o?_(R*S) (a,s)
و
?_R oq(a,s)=?_R (a)=q_0 (a.s)=q_0 o?_(R*S) (a,s)
براي ?(a,s)=?(b,t)داريم:
q((a,s)o(b,t))=q(aob,t)=aob=q(a,s)oq(b,t)
پس qيک ريخت از گروه‌وارهامي‌باشد.
چون نگاشت‌هاي qو ? q?_0پيوسته هستند، پس q يک ريخت از گروه‌وارهاي توپولوژيکي است.
حال با تعريف نگاشت هماني (q,?_(R*S) ):R*S?R*S، چون (q,?_(R*S) ) همئومورفيسم است، پس q:R*S?R يک ريخت پوششي توپولوژيکي مي‌باشد. بنابراين ?(S;p,?)=q يک ريخت پوششي توپولوژيکي است.
فرض کنيد h:(S;p,?)?(S^?;p^?,?^?) يک ريخت از R-فضاها باشد به طوري‌که ?(S;p,?)=qو ?(S^?;p^?,?^? )=q^?. حال ثابت مي‌کنيم که h ريخت پوششي توپولوژيکي kرا از qبهq^? القا مي‌کند. تعريف مي‌کنيم:
k:R*S?R*S^?
(r,s)?(r,f(s))
جايي‌که (r,s) با‌معنا باشد. چون p(s)=p^? of(s)، پس ?(r)=p^? (f(s)). درنتيجه (r,f(s)) نيز بامعنا است.
همچنين چون qوq^?ريخت‌هاي پوششي توپولوژيکي هستند، طبق گزاره 2-46، k نيز يک ريخت پوششي توپولوژيکي مي‌باشد. پس ? نيز شرايط لازم يک تابعگون را دارد.
براي ،(S;p,?)?Top(R) جايي‌که ?(S;p,?)=q، ?=?(s_q ) و p=q_0 داريم:
??(S;p,?)=?(q)=((R*S)_0;q_0,?(s_q ))=(S;p,?)
در نتيجه ??=1_(TOp(R)).
با توجه به تعريف 1-15، داريم s:???1_(TCov(R)) يک تبديل طبيعي است. از طرفي براي هر ريخت پوششي توپولوژيکي q:H?R، ? s?_q:R_( ?) ×_(q_0 ) H_0?Hيک يکريختي از گروه‌وارهاي توپولوژيکي است، در نتيجه ???1_(TCov(R)).?
مثال 3-25. اگر R يک گروه‌وار توپولوژيکي باشد، آن‌گاه ? R?_0يک R-فضاي چپ توسط هماني مي‌باشد. عمل اين فضا براي هر x?R_(0 )و r?R(x,y)، توسط r.x=y تعريف مي‌شود.
توجه داشته باشيد که اين عمل برگرفته از ريخت پوششي هماني ? 1?_R:R?Rمي‌باشد زيرا اگر? 1?_R:R?R يک ريخت پوششي هماني باشد، با توجه به نگاشت‌هاي پيوسته‌ي
(1,?_R ):R?R×R_0
r?(r,?(r))
و
s_1:R×R_0?R
(r,x)?r
عمل متناظر با اين ريخت پوششي ?(s_1)، مي‌باشد که براي r?R(x,y) داريم:
?(s_1 )(r,x)=?(r)=y
درنتيجه براي r?R(x,y) و ،x?R_0 عمل گروه‌وار R روي ? R?_0را به‌صورت r.x=y تعريف مي‌کنيم.
تعريف 3-26. مدار
اگر (S;p,?)يک R-فضا باشد، آن‌گاه مدارهاي S، کلاس‌هاي هم‌ارزي تحت رابطه‌ي هم‌ارزي s~t مي‌باشند.
s~tاگر و فقط اگرr?R وجود داشته باشد به طوري‌که r.s=t.
نتيجه 3-27. اگرR به طور متعدي روي S عمل کند، آن‌گاه S داراي تنها يک مدار مي‌باشد.
برهان. طبق تعريف عمل متعدي گروه‌وار واضح است زيرا به ازاي تمام x,y?R_0، s??^(-1) (x)و t??^(-1) (y)، وجود دارد r?R(x,y)به طوري‌که r.s=t. پس s~t.
به همين ترتيب براي هر x,z?R_0، s??^(-1) (x)و l??^(-1) (z)، h?R(x,y)وجود دارد به طوري‌که h.s=l. پس s~l. بنابراين داريم l~t.
همچنين براي هر y,d?R_0، t??^(-1) (y)و e??^(-1) (d)، k?R(x,y)وجود دارد به طوري‌که k.t=e. پس t~e. بنابراين داريم e~s و e~l.
بنابراين تمام اعضاي S با هم دررابطه هستند. پس فقط يک کلاس هم‌ارزي داريم و اين يعني S داراي تنها يک مدار است.?
گزاره 3-28.گوييم R روي Sبه طور متعدي عمل مي‌کند اگر وفقط اگر گروه‌وارR*S متعدي باشد.
برهان. فرض کنيد R رويS به طور متعدي عمل مي‌کند. براي s,tدلخواه عضو Sثابت مي‌کنيم R*S(s,t)??.
فرض کنيد?:S?R_(0 )، ?(s)=xو ?(t)=y. چون R متعدي است پس r?R(x,y)وجود دارد به طوري‌که ?(r)=?(s)=x و .?(r)=?(r.s)=?(t)=y پس (r,s) بامعنا مي‌باشد و (r,s)?R(x,y) وجود دارد به طوري‌که ?(r,s)=sوt= ?(r,s)=r.s . بنابراين براي هر s,t?S داريم R*S(s,t)??.
برعکس فرض کنيدR*S متعدي باشد. پس واضح است که براي هر s,t?S، يک (r,s)?R× Sوجود دارد به طوري‌که ?(r,s)=s و ?(r,s)=r.s. از طرفي چون (r,s)?R*S، پس ?(r)=?(r)و ?(r)=?(r.s). بنابراين براي هر s,t?S، r?R(?(s),?(t))وجود دارد به طوري‌که r.s=t.?
توجه 3-29. مجموعه‌ي مدارهاي S تحت عمل چپ R به صورت RS نوشته مي‌شود و با تعريف نگاشت
p:S?RS
t?[t]
مي‌بينيم توپولوژي تعريفي برايRS توپولوژي خارج‌قسمتي است که توسط نگاشت خارج‌قسمتي pالقا شده است.
مثال 3-30. فرض کنيد f:S?T يک نگاشت شناخته شده‌اي باشد. گروه‌وار توپولوژيکي Rبا مجموعه اشياء ? R?_0=Sرا به صورت زير تعريف مي‌کنيم:
R(s,s^? )={?(? if f(s)?f(s^?)@{(s,s^?)} other wise)?
چون R زيرمجموعه‌اي ازS×S مي‌باشد پس با القاي توپولوژي حاصل‌ضربي S×S به R، R به يک فضاي توپولوژيکي تبديل مي‌شود. همچنين با تعريف نگاشت‌هاي پيوسته‌ي زير،R يک گروه‌وار توپولوژيکي مي‌باشد.
?(s,s^? )=s^? , ?(s,s^? )=s
و
i(s,s^? )=(s^?,s) , 1_(( )) (s)=(s,s)
و نگاشت ترکيب
(s,s^? )o(t,t^? )=(s,t^? )
جايي‌که s^?=t.
در نگاشت ترکيب داريم f(s)=f(s^?)، f(t)=f(t^? )و t=s^?، بنابراين f(t)=f(s^?)، پس f(s)=f(t^?).
در نتيجه ريخت (s,t^? )موجود مي‌باشد. چون R(s,t^? )={(s,t^?)}، بنابراين در هر ترکيب فقط يک ريخت منحصربه‌فرد مانند (s,t^?) موجود است. به همين دليل درR يک ترکيب يکتا موجود است.
طبق مثال 3-26، داريم ? R?_0=Sيک R-فضاي چپ توسط هماني مي‌باشد. همچنين فضاي مدارهاي S يعني RS توسط Tتعريف مي‌شوند زيرا عمل R-فضاي S، براي هر (s,s^?)?R(s,s^?) به‌صورت (s,s^? ).s=s^?تعريف مي‌شود و چون R(s,s^? ) توسط f تعريف مي‌شود و برد fدرون T قرار مي‌گيرد، پس تعريف R(s,s^?) به ساختارT مربوط مي‌شود.
ازطرفي Rروي Sبه طور متعدي عمل مي‌کند پس Sداراي تنها يک مدار مي‌باشد.
تعريف 3-31. R-فضاي راست
گوييم (p,?;S) يک R-فضاي راست است جايي‌که S يک فضاي توپولوژيکي، p:S?R_0 يک نگاشت پيوسته و
?:s*R?S
(s,r)?s.r
يک عمل پيوسته‌ي گروه‌وار Rروي S (از راست)، توسط نمودار برگردان زير باشد:
نمودار8.
همچنين بايد در اصول زير صدق کند:
1- p(s.r)=?(r).
2- s.1_(p(s))=s.
3- .(s.r).h=s.(roh)
جايي‌که روابط بالا تعريف شده باشند.
تعريف 3-32. مدارها در R-فضاي راست
مدارهاي فضاي S نيز

دسته بندی : No category

دیدگاهتان را بنویسید