f و? f?^?که بازه [0,1] را به فضاي Xمي‌نگارند، هموتوپ‌راهي گوييم در صورتي‌که هر دو داراي نقطه‌ي آغازي ? x?_0ونقطه‌ي انجامي ? x?_1باشند ونگاشت پيوسته‌اي مانندF:I×I? Xموجود باشد به‌طوري‌که به‌ازاي هر s,t?Iداشته باشيم:
F(s,0)=f(s) , F(s,1)=f^? (s)
F (0,t)=x_0 , F(1,t)=x_(1 )
Fرا يک هموتوپ‌راهي بين fو ? f?^?مي‌ناميم. اگر fبا? f?^? هموتوپ‌راهي باشد مي‌نويسيم f?_p f^?.
لم 1-24. رابطه‌هاي ? و?_p روابط هم‌ارزي هستند.
برهان. به مرجع [17]، صفحه 320 رجوع کنيد.
تعريف 1-25. کمند در فضاي توپولوژيکي
فرض کنيد Xيک فضاي توپولوژيکي و ? x?_0نقطه‌اي از آن باشد. مسيري درX که از x_0شروع و به ? x?_(0 )منتهي مي‌شود، يک کمند بر پايه‌يx_(0 ) ناميده مي‌شود.
تعريف 1-26. اگر fمسيري در Xازx_0 بهx_1 وg مسيري ديگر درX ازx_1 بهx_2 باشد، آن‌گاه f*gترکيبf وg را به عنوان مسيري مانند h با تساوي زير تعريف مي‌کنيم:
h(s)={?(f(2s) s?[0,1/2]ازاي به@g(2s-1) s?[1/2,1]ازاي به)?
تعريف 1-27. اولين گروه بنيادي
مجموعه رده‌هاي هموتوپي‌راهي کمندهاي بر پايه‌ي x_0، با عمل* اولين گروه بنياديX نسبت به نقطه‌ي‌ پايهx_(0 ) ناميده مي‌شود. اين گروه را با ?_1 (X,x_0)نمايش مي‌دهيم.
تعريف 1-28. فرض کنيد p:E?B يک نگاشت پيوسته و پوشا باشد. گوييم مجموعه‌ي باز Uاز Bبه وسيله‌يp به طور هموار پوشانده مي‌شود هرگاه تصوير عکس ? p?^(-1) (U)را بتوان در Eبه صورت اجتماعي از مجموعه‌هاي باز جدا از هم ? V?_?نوشت به طوري‌که به‌ازاي هر ?تحديد p بهV_(? ) همئومورفيسمي ازV_(? ) به روي Uباشد. هر يک از مجموعه‌هاي ? V?_? را يک قاچ ? p?^(-1) (U)مي‌ناميم.
تعريف 1-29. نگاشت پوششي
فرض کنيد p:E?B يک نگاشت پيوسته و پوشا باشد. اگر هر نقطه‌ي bازB داراي همسايگي مانند Uباشد که به وسيله‌ي pبه‌طور هموار پوشانده شود آن‌گاه pرا يک نگاشت پوششي و Eرا يک فضاي پوششي Bمي‌ناميم.
تعريف 1-30. بالابر
نگاشت p:E?Bرا در نظر مي‌گيريم. فرض کنيد fيک نگاشت پيوسته از فضايي مانند Xبه توي Bباشد. نگاشت f ?:X?B را يک بالابرf گوييم در صورتي‌که .pof ?=f
لم 1-31. فرض کنيم p:E?Bيک نگاشت پوششي باشد و p(e_0 )=b_0. هر مسير در Bبا نقطه‌ي آغاز b_0، مانند f:[0,1]?B، داراي بالابر يکتايي به مسيرf ? با نقطه‌ي آغازي ? e?_0مي‌باشد.
برهان. به مرجع [17]، صفحه 336 رجوع کنيد.
تعريف 1-32. پوشش جهاني
اگر Eيک فضاي همبند ساده و p:E?B يک نگاشت پوششي باشد، آن‌گاه E را يک فضاي پوششي جهانيB مي‌ناميم.
اگر B همبندراهي موضعي باشد و p:E?Bوp^?:E^??B دو فضاي پوششي همبند‌ساده‌ي Bباشند، آن‌گاه همئومورفيسمي مانند h:E?E^?موجود است که p^? oh=p.
تعريف 1-33. رسته
رسته‌اي مثل Cخانواده‌اي متشکل از اشياء است با اين ويژگي که
1- به ازاي هر دو شي مثل Aو B مجموعه‌اي متناظر مي‌شود که با ?hom?_C (A,B)(مجموعه‌ي ريخت‌هاي از Aبه B) نشان داده مي‌شود و داراي اين خاصيت است که به‌ازاي هر چهار شيءA، B، CوD که (A,B)?(C,D)،
?hom?_C (A,B)??hom?_C (C,D)=?
2-به‌ازاي هر سه شيء مثل A، Bو C، تابع
k:?hom?_C (B,C)×?hom?_C (A,B)??hom?_C (A,C) , (g,f)?gf
موجود است که
(i به‌ازاي هر چهار شيءA ، B، Cو D، اگرf??hom?_C (A,B)، g??hom?_C (B,C)و h??hom?_C (C,D)، آن‌گاهho(gof)=(hog)of .
(ii به‌ازاي هر شيء مثل A، عضوي از?hom?_C (A,A) مثل ? 1?_Aموجود است که به‌ازاي هر عضو از ? hom?_C (A,B) مثل fو هر عضو از?hom?_C (C,A) مثل g، داشته باشيم:
fo1_A=f , 1_A og=g
تعريف 1-34. تابعگون
فرض کنيد C و D دو رسته باشند. تابعگون همورد (پادورد) از C به D زوجي متشکل از دو تابع است: يکي تابع شيء که به هر شيء از C مثل A، شيء F(A)ازD را نسبت مي‌دهد و ديگري تابع ريختار که آن را نيز با F نشان مي‌دهيم و به هر ريختار از C مثل f:A?B، ريختاري از D مثل F(f):F(A)?F(B) (F(f):F(B)?F(A)) نسبت مي‌دهد که
1- به‌ازاي هر شيء از C مثل A، .F(1_A )=1_(F(A))
2- به‌ازاي هر دو ريختار از C مثل f:A?Bو g:B?C، داشته باشيم
F(gof)=F(g)oF(f)
(F(gof)=F(f)oF(g))
تعريف 1-35. يکريختي طبيعي
فرض کنيدF وG تابعگون‌هايي از رسته‌ي C به رسته‌ي D باشند. تبديل طبيعي ?:F?G، تابعي است که براي هر شيء aاز C، ريخت ? ??_a:F(a)?G(a)از D را چنان نسبت مي‌دهد که به‌ازاي هر ريخت f:a?bاز C، G(f)o?_a=?_b oF(f). به‌عبارت ديگر نمودار زير جابه‌جايي است:
نمودار1.
اگر براي هر a?C، ? ??_aيکريختي باشد، آن‌گاه ? را يکريختي طبيعي مي‌ناميم.
تعريف 1-36. هم‌ارزي رسته‌ها
اگر تابعگون‌هاي F:C?Dو G:D?C و يکريختي‌هاي طبيعي ?:FoG??id?_Dو ?:GoF??id?_Cموجود باشند، رسته‌هاي Cو D را هم‌ارز گوييم.
قضيه 1-38. فرض کنيد Gيک گروه و Hزيرمجموعه‌اي غيرتهي از Gباشد. در اين‌صورت H?G (H زير گروه G است) اگر و فقط اگر به‌ازاي هر a,b?H، داشته باشيم ab^(-1)?H.
برهان. به مرجع [7]، مراجعه کنيد.
قضيه 1-40. فرض کنيد (R,+,?)يک حلقه و Sيک زيرمجموعه‌ي غيرتهي از Rباشد. در اين‌صورت Sيک زيرحلقه از Rاست اگر وفقط اگر
1- به‌ازاي هر a,b?S، a-b?S.
2- به‌ازاي هر a,b?S، ab?S.
برهان. به مرجع [7]، مراجعه کنيد.
نکته1-41. اگر R و ? R?^?دو حلقه باشند، با تعريف ضرب‌ گروهي (a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)، ضرب‌ حلقه‌اي (a,b)(c,d)=(ab,cd)و (-a,-b) به عنوان معکوس گروهي (a,b)، جايي‌که -aمعکوس a در Rو -bمعکوسb در ? R?^?مي‌باشد و همچنين با درنظر گرفتن (e,e^? )به عنوان عنصر هماني R×R^?، جايي‌که eعضو هماني Rو ? e?^? عضو هماني? R?^?مي‌باشد، R×R^? نيز يک حلقه است.
تعريف 1-42. همريختي گروهي
فرض کنيد (G,?)و (H,*)دو گروه باشند. يک تابع f:G?Hرا يک همريختي از گروه Gبه گروه Hنامند اگر به‌ازاي هر a,b?G، f(a?b)=f(a)*f(b).
تعريف 1-43. همريختي حلقه‌اي
فرض کنيد (R,+,?)و (R^?,?,?) دو حلقه و f:R?R^? يک تابع باشد. در اين‌صورت fرا يک همريختي حلقه‌اي از Rبه ? R?^?گوييم اگر به‌ازاي هر a,b?R،
1- .f(a+b)=f(a)?f(b)
2- . f(ab)=f(a)?f(b)
تعريف 1-44. فرض کنيد (R,+,?)يک حلقه و Iيک زيرحلقه از Rباشد. در اين‌صورت
1- اگر به‌ازاي هر r?Rو هر a?I، ra?I، I را يک ايده‌آل چپ Rگوييم.
2- اگر به‌ازاي هر r?R و هر a?I، ar?I، I را يک ايده‌آل راست Rگوييم.
3- اگر I هم يک ايده‌آل چپ و هم يک ايده‌آل راست R باشد، I را يک ايده‌آل Rگوييم.
فصل دوم
گروه‌وارها و گروه‌وارهاي توپولوژيکي
تعريف 2-1. گروه‌وار
يک گروه‌وار، يک رسته است که تشکيل شده از دو مجموعه‌ي R وR_(0 )که به‌ ترتيب مجموعه‌ي ريخت‌ها ومجموعه‌ي اشياء گروه‌وار ناميده مي‌شوند به همراه نگاشت‌هاي زير:
1- دو نگاشت ?:R?R_0 و ?:R?R_0 که به‌ ترتيب نگاشت‌هاي منبع وهدف ناميده مي‌شوند.
2- نگاشت
1_(( )):R_0?R
x?1_x
که نگاشت شيء ناميده مي‌شود.
3- نگاشت معکوس
i:R?R
a?a^(-1)
4- نگاشت ترکيب
R_? ×_( ? ) R?R
(b,a)?boa
جايي‌که
R_? ×_( ? ) R={(b,a)??(b)=?(a)}
همچنين نگاشت‌ها بايد در شرايط زير صدق کنند:
1- براي هر (b,a) ?R_? ×_( ?) R داريم:
?(boa)=?(a)
و
?(boa)=?(b)
2- براي هر a,b,c?R به‌طوري‌که ?(c)=?(b) و?(b)=?(a) داريم:
co(boa)=(cob)oa
3- براي هر x?R، جايي که 1_x هماني در xاست، داريم:
?(1_x )=?(1_x )=x
4- براي هر a?R داريم:
a o1_(?(a))=a
و
1_(?(a)) oa=a
5-هر عنصر a?R داراي يک وارون a^(-1) است به طوري که
?(a^(-1) )=?(a)
و
?(a^(-1) )=?(a)
نکته 2-2. با توجه به شرط 5 ترکيب‌هايaoa^(-1) وa^(-1) oa با معنا مي‌باشند وداريم:
aoa^(-1)=1_(?(a))
و
a^(-1) oa=1_(?(a))
گزاره 2-3. فرض کنيد R يک گروه‌وار روي ? R?_0باشد وr?R که?(r)=x و ?(r)=y در اين صورت
1- اگر h?R، ?(h)=y و hor=r آن‌گاهh=1_(y ).
2- اگر j?R، ?(j)=x و roj=r آن‌گاهj=1_(x ).
3- اگر h?R، ?(h)=y و hor=1_(x )آن‌گاهh=r^(-1 ).
4- اگر j?R،?(j)=x و roj=1_(y ) آن‌گاهj=r^(-1 ).
برهان قسمت 1-
داريم hor=r. بنابراين (hor)or^(-1)=ror^(-1) . لذا .ho1_(?(r))=1_(?(r))
بنابراين داريم:
h=ho1_(?(h))=ho1_y=ho1_(?(r))=1_(?(r))=1_y
برهان قسمت 2-
roj=r، بنابراين 1_(?(r)) oj=1_(?(r)). در نتيجه
j=1_(?(j)) oj=1_(?(r)) oj=1_(?(r))=1_x
برهان قسمت 3-
h=ho1_(?(h))=ho1_(?(r))=ho(ror^(-1) )=(hor)or^(-1)=1_x or^(-1)=
1_(?(r)) or^(-1) =1_(?(r^(-1))) or^(-1)=r^(-1)
برهان قسمت 4-
j=1_(?(j)) oj=1_(?(r)) 0j=r^(-1) oroj=r^(-1) o1_y=r^(-1) o1_(?(r))=r^(-1)
اين قسمت از گزاره نشان مي‌دهد معکوس يکتاست.?
تعريف 2-4. اگر R يک گروه‌وار باشد، براي x,y?R_(0 )مجموعه‌ي همه‌ي ريخت‌هاي a?R
را که ?(a)=xو ?(a)=y با R(x,y)نشان مي‌دهيم.
مثال 2-5. ثابت مي‌کنيم هر گروه خود يک گروه‌وار است.
فرض کنيم R يک گروه باشد. با در نظر گرفتن عضو هماني گروه به عنوان مجموعه اشياء گروه‌وار و در نظر گرفتن خود R به عنوان ريخت‌هاي گروه‌وار، نگاشت‌ها را به صورت زير تعريف مي‌کنيم:
نگاشت منبع و هدف
?,?:R?{e}
a?e
نگاشت شيء

دسته بندی : No category

دیدگاهتان را بنویسید